10 Evaluacion semantica de formulas (valores de verdad) ‣ Parte III Semantica de la logica proposicional ‣ Lógica‣ Parte III Semantica de la logica proposicional ‣ Lógica

Definición 10.1.

Llamamos signatura al conjunto $\displaystyle\Sigma$ formado por todos los simbolos de proposicion atomica.

Observación.

Como en una formula o conjunto finito de formulas solo aparecera una cantidad finita de simbolos de proposicion atomica, por extension, llamaremos tambien signatura a cualquier conjunto finito de simbolos de proposicion atomica (y lo denotaremos tambien con $\displaystyle\Sigma$ ).

Definición 10.2.

Sea $\displaystyle\Sigma$ una signatura. Llamamos valoracion …

Ejemplo.

Sea $\displaystyle\Sigma=\{p,q,r\}$ Un ejemplo de valoracion sobre $\displaystyle\Sigma$ es

	$\displaystyle v_{1}\colon\Sigma$	$\displaystyle\longrightarrow(0,1)$
	$\displaystyle p$	$\displaystyle\longmapsto 0$
	$\displaystyle q$	$\displaystyle\longmapsto 1$
	$\displaystyle r$	$\displaystyle\longmapsto 1$

Observación.

En total habria $\displaystyle 2^{3}=8$ valoraciones diferentes.

Definición 10.3.

Sea $\displaystyle\Sigma$ la signatura formada por todos los simbolos de proposicion atomica y $\displaystyle u$ una valoracion concreta definida sobre $\displaystyle\Sigma$ . Vamos a definir por recursion una funcion que asocia a cada formula $\displaystyle\varphi$ un valor de verdad que denotaremos $\displaystyle(\varphi)^{u}$ , extendiendo la valoracion $\displaystyle y$ de proposiciones atomicas a todas las formulas:

Si $\displaystyle p$ es un simbolo de proposicion atomica $\displaystyle\Rightarrow(p)^{u}\coloneqq u(p)$ , $\displaystyle(\perp)^{u}\coloneqq 0$ , $\displaystyle(\top)^{u}\coloneqq 1$ .
Si $\displaystyle\varphi\in\mathcal{{F}}_{0}$ $\displaystyle\Rightarrow(\neg\varphi)^{u}\coloneqq\begin{dcases}1\text{ si }(% \varphi)^{u}=0\\ 0\text{ si }(\varphi)^{u}=1\end{dcases}$

Definición 10.4.

Sean $\displaystyle\varphi,\psi\in\mathcal{{F}}_{0}\Rightarrow$

\displaystyle((\varphi\wedge\psi))^{u}\coloneqq\begin{dcases}1\text{ si }(% \varphi)^{u}=(\psi)^{u}=1\\ 0\text{ en otro caso}\end{dcases}

\displaystyle((\varphi\vee\psi))^{u}\coloneqq\begin{dcases}0\text{ si }(% \varphi)^{u}=(\psi)^{u}=0\\ 1\text{ en otro caso}\end{dcases}

\displaystyle((\varphi\rightarrow\psi))^{u}\coloneqq\begin{dcases}0\text{ si }% (\varphi)^{u}=1\text{ y }(\psi)^{u}=0\\ 1\text{ en otro caso}\end{dcases}

\displaystyle((\varphi\leftrightarrow\psi))^{u}\coloneqq\begin{dcases}1\text{ % si }(\varphi)^{u}=(\psi)^{u}\\ 0\text{ si }(\varphi)^{u}\neq(\psi)^{u}\end{dcases}

Observación.

Si no se genera ambiguedad escribiremos $\displaystyle\varphi^{u}$ en lugar de $\displaystyle(\varphi)^{u}$

Observación.

Los valores de verdad de las conectivas binarias se pueden resumir con tablas de verdad.

Ejemplo.

Sea $\displaystyle u$ la valoracion dada por $\displaystyle u(p)=u(q)=1,u(r)=0$ . Hallar $\displaystyle\varphi^{u}$ siendo

\displaystyle\varphi=(p\rightarrow\neg(q\wedge r))\leftrightarrow(p\vee\neg q% \rightarrow\neg r)

$\displaystyle(q\wedge r)^{u}=0$ , $\displaystyle\neg(q\wedge r)^{u}=1$ , $\displaystyle(p\rightarrow\neg(q\wedge r))^{u}=1$ .

Por otro lado $\displaystyle(\neg q)^{u}=0$ , $\displaystyle(p\vee\neg q)^{u}=1$ , $\displaystyle(\neg r)^{u}=1$ , $\displaystyle(p\vee\neg q\rightarrow\neg r)^{u}=1$

Por tanto, $\displaystyle\varphi^{u}=1$ .