12 Consecuencia logica

Definición 12.1.

Sea Φ={φ1,φ2,…,φn}\displaystyle\Phi=\{\varphi_{1},\varphi_{2},\ldots,\varphi_{n}\} un conjintp de formulas y u\displaystyle u una valoracion. Decimos que u\displaystyle u es modelo de Φ\displaystyle\Phi si ∀i⁢(u⊧φi)\displaystyle\forall i(u\models\varphi_{i}).

Definición 12.2.

Sean Φ={φ1,…,φn}\displaystyle\Phi=\{\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\} un conjunto de formulas y ψ\displaystyle\psi otra formula. Decimos que ψ\displaystyle\psi es consecuencia logica de Φ\displaystyle\Phi si todo modelo de Φ\displaystyle\Phi tambien es modelo de ψ\displaystyle\psi.

Observación.

Si Φ={φ}\displaystyle\Phi=\{\varphi\} consta de una unica formula y φ\displaystyle\varphi es otra formula, en lugar de

Definición 12.3.

Recordemos que un razonamiento es una formula de tipo

φ1∧φ2∧⋯∧φn\displaystyle\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n}
Ejemplo.

Estudia si la siguiente implicacion logica es cierta

{p→q,q→r,¬⁢r}⊧¬⁢p\displaystyle\{p\rightarrow q,q\rightarrow r,\neg r\}\models\neg p
p q r p→q\displaystyle p\rightarrow q q→r\displaystyle q\rightarrow r ¬⁢r\displaystyle\neg r ¬⁢p\displaystyle\neg p φ1∧φ2∧φ3\displaystyle\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\varphi_{3} (φ1∧φ2∧φ3)→ψ\displaystyle(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\varphi_{3})\rightarrow\psi
0 0 0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 0 0 1

ψ\displaystyle\psi es consecuencia logica del compuesto de formulas {φ1,φ2,φ3}\displaystyle\{\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\}. Contradiccion…

Proposición 12.1.

Sean Φ={φ1,…,φn}\displaystyle\Phi=\{\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\} un conjunto de formulas y ψ\displaystyle\psi otra formula. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  •  
    ​

    Φ⊧ψ\displaystyle\Phi\models\psi

  •  
    ​

    El razonamiento φ1∧φ2∧⋯∧φn\displaystyle\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n} →ψ\displaystyle\rightarrow\psi es correcto.

  •  
    ​

    La formula φ1∧φ2∧⋯∧φn∧¬⁢ψ\displaystyle\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n}\wedge\neg\psi es una contradiccion.

Demostración.

Los tres puntos son equivalentes a decir que, para toda valoracion v\displaystyle v que cumpla que

φ1v=1,φ2v=1,…,φnv=1\displaystyle\varphi^{v}_{1}=1,\varphi^{v}_{2}=1,\ldots,\varphi^{v}_{n}=1

Si cumple inversamente que ψv=1\displaystyle\psi^{v}=1 ∎

Ejemplo.

Estudia si el razonamiento: “Si llueve hace viento. No hace viento a menos que haga frio. No hace frio. Por tanto, no llueve.”

formalizado mediante la formula

(l→v)∧(¬⁢f→¬⁢v)∧¬⁢f→¬⁢l\displaystyle(l\rightarrow v)\wedge(\neg f\rightarrow\neg v)\wedge\neg f% \rightarrow\neg l

es correcto.

Supongamos que el razonamiento es incorrecto, es decir, que existe una valoracion u\displaystyle u que hace ciertas las premisas y falsa la conclusion, es decir,

(l→v)u=1\displaystyle(l\rightarrow v)^{u}=1 (1), (¬⁢f→¬⁢v)=1\displaystyle(\neg f\rightarrow\neg v)=1 (2), (¬⁢f)u=1\displaystyle(\neg f)^{u}=1 (3), (¬⁢l)u=0\displaystyle(\neg l)^{u}=0 (4).

(4)⇒u⁢(l)=1⇒u⁢(v)=1⇒(¬⁢v)u=0⇒(¬⁢f⇒¬⁢v)u=0\displaystyle(4)\Rightarrow u(l)=1\Rightarrow u(v)=1\Rightarrow(\neg v)^{u}=0% \Rightarrow(\neg f\Rightarrow\neg v)^{u}=0.

Contradiccion porque ¬⁢f→¬⁢v\displaystyle\neg f\rightarrow\neg v es a la vez verdadera y falsa.

Luego el razonamiento es correcto.

Ejemplo.

Estudia si el razonamiento del ejercicio 14 de la hoja 2:

“Si llueve las calles estaran vacias. Si las calles estan vacias, el comercio obtiene perdidas. Los musicos no podrian sobrevivir si los comerciantes no les contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantes invierten en canciones publicitarias cuando tienen perdidas. Por tanto, si llueve, los musicos pueden sobrevivir”

formalizado mediante la formula

(l→v)∧(v→p)∧(¬⁢c→¬⁢m)∧(p→c)→(l→m)\displaystyle(l\rightarrow v)\wedge(v\rightarrow p)\wedge(\neg c\rightarrow% \neg m)\wedge(p\rightarrow c)\rightarrow(l\rightarrow m)

es correcto.

l→v⁢(1)\displaystyle l\rightarrow v\;(1), v→p\displaystyle v\rightarrow p (2), ¬⁢c→¬⁢m\displaystyle\neg c\rightarrow\neg m (3), p→c\displaystyle p\rightarrow c (4)

Conclusion: l→m\displaystyle l\rightarrow m (5).

Supongamos que el razonamiento es incorrecto, es decir, existe una valoracion u tal que

(l→v)=1\displaystyle(l\rightarrow v)=1, (v→p)=1\displaystyle(v\rightarrow p)=1, (¬⁢c→¬⁢m)=1\displaystyle(\neg c\rightarrow\neg m)=1, p→c=1\displaystyle p\rightarrow c=1, l→m=0⇒l=1,m=0\displaystyle l\rightarrow m=0\Rightarrow l=1,m=0

l=1⇒v=1⁢(1)⇒p=1⁢(2)⇒c=1⁢(4)\displaystyle l=1\Rightarrow v=1(1)\Rightarrow p=1(2)\Rightarrow c=1(4)

Con esta valoracion, l=1,m=0,v=1,p=1\displaystyle l=1,m=0,v=1,p=1 y c=1\displaystyle c=1 se tiene que (3) es verdadera.

Luego esta valoracion es un contraejemplo al razonamiento y, por tanto, el razonamiento es incorrecto.