Terminología matemática

Enunciados:
- •
  
  Teorema
- •
  
  Proposicion - resultado de un enunciado que propone algo (menor entidad que un teorema)
- •
  
  Lema - resultado cuya funcion es servir como herramienta auxiliar para probar otra cosa
- •
  
  Corolario - resultados que se obtienen como consecuencia de demostrar un teorema
- •
  
  Observacion - puntualizacion verdadera y suficientemente clara como para no necesitar demostracion
- •
  
  Conjeturas - resultado que se cree que es cierto pero no hay una demostración

Ejemplos:

Teorema 0.1 (Ultimo teorema de Fermat).

Sea $\displaystyle n\geq 3$ un numero natural. La ecuacion

\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}

no tiene soluciones (salvo las triviales) en los numeros enteros.

Fermat lo enuncia en 1637.
Es una conjetura hasta que Andrew Wiles lo demuestra en 1995.

Conjetura 0.1 (de Goldbach).

Sea $\displaystyle n>2$ un numero natural par. Entonces $\displaystyle n$ es suma de dos numeros primos.

Demostracion directa

Ejemplos:

Proposición 0.1.

Sea $\displaystyle n$ un numero natural impar. Entonces la division entera de $\displaystyle n^{2}$ entre $\displaystyle 8$ tiene resto $\displaystyle 1$ .

Demostración.

Como $\displaystyle n$ es impar, se puede expresar como $\displaystyle n=2m+1$ con $\displaystyle m\in\mathbb{N}$ . Asimismo, tenemos que

\displaystyle n^{2}=(2m+1)^{2}=4m^{2}+4m+1\Rightarrow n^{2}=4m(m+1)+1

Luego $\displaystyle m(m+1)$ es un numero par $\displaystyle\Rightarrow$ $\displaystyle m(m+1)=2\ell$ con $\displaystyle\ell\in\mathbb{N}$ .

\displaystyle n^{2}=4\cdot 2\ell+1=8\ell+1\Rightarrow\text{ El resto de $% \displaystyle n^{2}$ entre 8 es 1.}

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Teorema 0.2 (de Pitagoras).

Sean $\displaystyle a$ la longitud de la hipotenusa de un triangulo rectangulo y $\displaystyle b$ y $\displaystyle c$ las longitudes de sus dos catetos. Entonces se cumple la igualdad

\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}

Demostración.

Se puede demostrar de forma geométrica:

Figura 1: Demostracion del teorema de Pitagoras

∎

Reduccion al absurdo

Ejemplos:

Teorema 0.3.

$\displaystyle\sqrt{2}$ es un numero irracional.

Demostración.

Lo demostraremos por reduccion al absurdo.

Supongamos que $\displaystyle\sqrt{2}$ es un numero racional. Entonces $\displaystyle\sqrt{2}$ se puede escribir como una fraccion irreducible: $\displaystyle\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ donde $\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}$ y $\displaystyle b\neq 0$ . Entonces

\displaystyle b\sqrt{2}=a\Rightarrow b^{2}2=a^{2}\Rightarrow a^{2}\text{ es % par}\Rightarrow a\text{ es par}\Rightarrow a=2c

Sustituyendo

\displaystyle b^{2}2=(2c)^{2}=4c^{2}\Rightarrow b^{2}=2c^{2}\Rightarrow b^{2}% \text{ es par }\Rightarrow\boxed{\text{b es par}}

Hay una contradiccion porque $\displaystyle a$ y $\displaystyle b$ no tenian factores en comun.

Luego lo supuesto tiene que ser falso y por tanto $\displaystyle\sqrt{2}$ no es racional. ∎