4 Mas ejemplos de anillos. DFU, DIP y DE.

4.1 Cuerpo de fracciones de un anillo

Proposición 4.1.

Sea A\displaystyle A un dominio de integridad. Consideramos el conjunto

S={(a,b)/a,b∈A,b≠0A}\displaystyle S=\{(a,b)/a,b\in A,b\neq 0_{A}\}

junto con la relacion (a,b)∼(c,d)\displaystyle(a,b)\thicksim(c,d) si y solo si a⁢d=b⁢c\displaystyle ad=bc. Esta relacion es de equivalencia.

Proposición 4.2.

Consideramos el conjunto cociente K=S/∼\displaystyle K=S/\thicksim. Para la clase de equivalencia de un elemento, utilizaremos la notacion

[(a,b)]∼=ab\displaystyle[(a,b)]_{\thicksim}=\frac{a}{b}

Definimos en K\displaystyle K las siguientes dos operaciones:

ab+cd≔a⁢d+b⁢cb⁢d∀ab,cd∈S/∼\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\coloneqq\frac{ad+bc}{bd}\;\forall\frac{a}% {b},\frac{c}{d}\in S/\thicksim
ab⋅cd≔a⁢db⁢c∀ab,cd∈S/∼\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\coloneqq\frac{ad}{bc}\forall\frac{a}{% b},\frac{c}{d}\in S/\thicksim

Estas operaciones estan bien definidas (no dependen de la eleccion de representantes).

Proposición 4.3.

K\displaystyle K dotado de las dos operaciones anteriores es un cuerpo. El conjunto K\displaystyle K recibe el nombre de cuerpo de fracciones de A\displaystyle A. Se denota K=c⁢d⁢f⁢(A)\displaystyle K=cdf(A). Ademas, existe un monomorfismo de anillos unitarios φ:A→c⁢d⁢f⁢(A),a↦a1\displaystyle\varphi\colon A\to cdf(A),\;a\mapsto\frac{a}{1}. Mas aun, si A\displaystyle A es un cuerpo entonces φ\displaystyle\varphi es un isomorfismo: A≅c⁢d⁢f⁢(A)\displaystyle A\cong cdf(A).

Ejemplo.
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    ​

    Si A=ℤ\displaystyle A=\mathbb{Z}, entonces c⁢d⁢f⁢(A)=ℚ\displaystyle cdf(A)=\mathbb{Q}.

  •  
    ​

    Si A=K⁢[x]\displaystyle A=K[x] (sirve con que K\displaystyle K sea DI), cdf(A)={p⁢(x)q⁢(x)⏟(clases)/p(x),q(x)∈A,q(x)≠0}\displaystyle cdf(A)=\{\underbrace{\frac{p(x)}{q(x)}}_{\text{(clases)}}/p(x),q% (x)\in A,q(x)\neq 0\}. En este caso c⁢d⁢f⁢(A)=K⁢(x)\displaystyle cdf(A)=K(x).

4.2 Los anillos A⁢[b]\displaystyle A[b], K⁢(b)\displaystyle K(b)

Vamos a ver otros dominios de integridad de los que podemos hallar su cuerpo de fracciones.

Proposición 4.4.

Sea B\displaystyle B un a.c.c.u., A\displaystyle A un subanillo de B\displaystyle B, b∈B\displaystyle b\in B y la funcion

fb:A⁢[x]\displaystyle f_{b}\colon A[x] ⟶B\displaystyle\longrightarrow B
p⁢(x)\displaystyle p(x) ⟼fb⁢(p⁢(x))=p⁢(b)\displaystyle\longmapsto f_{b}(p(x))=p(b)

Entonces fb\displaystyle f_{b} es un homomorfismo de anillos.

Definición 4.1.

A⁢[b]≔i⁢m⁢(fb)={p⁢(b)∣p∈A⁢[x]}\displaystyle A[b]\coloneqq im(f_{b})=\{p(b)\mid p\in A[x]\}

Corolario 4.1.

A⁢[b]\displaystyle A[b] es un subanillo de B\displaystyle B.

Ejemplo.
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    ℝ⁢[i]={p⁢(i)∣p⁢(x)∈ℝ⁢[x]}⁢=i2=−1⁢{a+b⁢i∣a,b∈ℝ}=ℂ\displaystyle\mathbb{R}[i]=\{p(i)\mid p(x)\in\mathbb{R}[x]\}\overset{i^{2}=-1}% {=}\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R}\}=\mathbb{C}. Por ejemplo, 3⁢x3+x2+x+2=p⁢(x)→p⁢(i)=−3⁢i−1+i+2=−2⁢i+1∈ℝ⁢[i]\displaystyle 3x^{3}+x^{2}+x+2=p(x)\rightarrow p(i)=-3i-1+i+2=-2i+1\in\mathbb{% R}[i]. Ademas, se tiene que x2+1\displaystyle x^{2}+1 es el polinomio minimo de i\displaystyle i.

  •  
    ​

    ℤ⁢[2]={p⁢(2)∣p∈ℤ⁢[x]}={a+b⁢2∣a,b∈ℤ}⊆ℝ\displaystyle\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{p(\sqrt{2})\mid p\in\mathbb{Z}[x]\}=\{a+b% \sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathbb{R}. ℤ⁢[x]⇒p⁢(x)=(x2−2)⁢q⁢(x)+r⁢(x)⏟a+b⁢x\displaystyle\mathbb{Z}[x]\Rightarrow p(x)=(x^{2}-2)q(x)+\underbrace{r(x)}_{a+bx}. Al evaluarlo en 2,p⁢(2)=((2)2−2)⁢q⁢(x)+r⁢(2)=r⁢(2)=a+b⁢2\displaystyle\sqrt{2},p(\sqrt{2})=((\sqrt{2})^{2}-2)q(x)+r(\sqrt{2})=r(\sqrt{2% })=a+b\sqrt{2}.

  •  
    ​

    ℚ⁢[2]={a+b⁢2∣a,b∈ℚ}⊆ℝ\displaystyle\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}% \subseteq\mathbb{R}.

  •  
    ​

    ℚ⁢[23]={a+b⁢23∣a,b∈ℚ}\displaystyle\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]=\{a+b\sqrt[3]{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}. El polinomio minimo es x3−2\displaystyle x^{3}-2.

  •  
    ​

    ℤ⁢[i]={a+b⁢i∣a,b∈ℤ}⊆ℂ\displaystyle\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathbb{C} (enteros de Gauss).

Definición 4.2.

Sea K\displaystyle K un cuerpo.

K⁢(x)≔c⁢d⁢f⁢(K⁢[x])={p⁢(x)q⁢(x)∣p,q∈K⁢[x],q≠0}\displaystyle K(x)\coloneqq cdf(K[x])=\{\frac{p(x)}{q(x)}\mid p,q\in K[x],q% \neq 0\}
Definición 4.3.

Sean L\displaystyle L otro cuerpo tal que K⊆L\displaystyle K\subseteq L y b∈L\displaystyle b\in L.

K⁢(b)≔c⁢d⁢f⁢(K⁢[b])={p⁢(b)q⁢(b)∣p,q∈K⁢[x],q⁢(b)≠0}\displaystyle K(b)\coloneqq cdf(K[b])=\left\{\frac{p(b)}{q(b)}\mid p,q\in K[x]% ,q(b)\neq 0\right\}
Observación.

Si K⁢[b]\displaystyle K[b] es cuerpo, entonces K⁢[b]=K⁢(b)\displaystyle K[b]=K(b). Por ejemplo ℚ⁢[2]=ℚ⁢(2)\displaystyle\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\mathbb{Q}(\sqrt{2}).

4.3 DFU, DIP, DE

Definición 4.4.

Sea A\displaystyle A un anillo con unidad.

A∗≔{a∈A∣a⁢ es invertible}\displaystyle A^{*}\coloneqq\{a\in A\mid a\text{ es invertible}\}
Definición 4.5 (Elemento irreducible).

Sea a∈A∖A∗,a≠0\displaystyle a\in A\setminus A^{*},a\neq 0. Decimos que a\displaystyle a es irreducible si sus unicos divisores son elementos invertibles y asociados de a\displaystyle a. En caso contrario decimos que a\displaystyle a es reducible.

Definición 4.6 (DFU).

Sean A\displaystyle A un DI. Decimos que A\displaystyle A es dominio de factorizacion unica (DFU) si todo elemento a∈A∖A∗,a≠0\displaystyle a\in A\setminus A^{*},a\neq 0, factoriza como producto de elementos irreducibles de manera unica (salvo reordenacion y asociados).

Ejemplo.
  •  
    ​

    K⁢[x]\displaystyle K[x] es un DFU.

  •  
    ​

    ℤ\displaystyle\mathbb{Z} es un DFU (teorema fundamental de la aritmetica).

Definición 4.7 (DIP).

Sea A\displaystyle A un DI. Decimos que A\displaystyle A es dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal de A\displaystyle A es principal, es decir, ∀I\displaystyle\forall I ideal de A\displaystyle A existe a∈A\displaystyle a\in A tal que I=(a)\displaystyle I=(a).

Ejemplo.
  •  
    ​

    ℤ\displaystyle\mathbb{Z} es DIP. Todos los ideales de ℤ\displaystyle\mathbb{Z} son de la forma m⁢ℤ\displaystyle m\mathbb{Z} para algun m∈ℤ\displaystyle m\in\mathbb{Z}.

  •  
    ​

    ℤ⁢[x]\displaystyle\mathbb{Z}[x] no es DIP.

  •  
    ​

    K⁢[x]\displaystyle K[x] es DIP.

Definición 4.8 (DE).

Sea A\displaystyle A un DI. Decimos que A\displaystyle A es dominio euclideo (DE) si existe una funcion, llamada norma, δ:A∖{0A}→ℕ∪{0}\displaystyle\delta\colon A\setminus\{0_{A}\}\rightarrow\mathbb{N}\cup\{0\} tal que

  1. 1.
    ​

    ∀a,b∈A∖{0A}\displaystyle\forall a,b\in A\setminus\{0_{A}\} se tiene que δ⁢(a)≤δ⁢(a⁢b)\displaystyle\delta(a)\leq\delta(ab)

  2. 2.
    ​

    ∀a,b∈A,b≠0A\displaystyle\forall a,b\in A,b\neq 0_{A}, ∃q,r∈A\displaystyle\exists q,r\in A tales que a=b⁢q+r\displaystyle a=bq+r y r\displaystyle r cumple que δ⁢(r)<δ⁢(b)\displaystyle\delta(r)<\delta(b) o bien r=0A\displaystyle r=0_{A}.

Ejemplo.
  •  
    ​

    K⁢[x]\displaystyle K[x] es un DE con δ=\displaystyle\delta= grado.

  •  
    ​

    ℤ\displaystyle\mathbb{Z} con δ=\displaystyle\delta= “valor absoluto” tambien es DE.

Teorema 4.1.

A\displaystyle A DE ⇒A\displaystyle\Rightarrow A DIP ⇒A\displaystyle\Rightarrow A DFU ⇒A⁢ DI \displaystyle\Rightarrow A\text{ DI }

Ejemplo.

Contraejemplos a los reciprocos:

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    ​

    ℤ⁢[−5]\displaystyle\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] es DI pero no DFU.

  •  
    ​

    ℤ⁢[x]\displaystyle\mathbb{Z}[x] es DFU pero no DIP.

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    ​

    ℤ⁢[n+−192]\displaystyle\mathbb{Z}\left[\frac{n+\sqrt{-19}}{2}\right]