2 Ideales y anillos cociente. Teoremas de isomorfía

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  Sea $\displaystyle A$ un anillo cualquiera. $\displaystyle A$ y $\displaystyle\{0_{A}\}$ son ideales de $\displaystyle A$. Se consideran los ideales triviales de $\displaystyle A$.

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  $\displaystyle 7\mathbb{Z}$ es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}$. Hemos visto en general que $\displaystyle\forall n\in\mathbb{Z}$, $\displaystyle n\mathbb{Z}$ es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}$ (por la proposicion 2).

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  $\displaystyle\{0,3\}$ es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}$. $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}=\{0,1,2,3,4,5\}$. Veamos que $\displaystyle\{0,3\}$ es ideal:

  1. 1.
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     $\displaystyle 0\in I$

  2. 2.
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     Cerrado para la resta:

     • •
       ​

       $\displaystyle 0-0=0\in I$

     • •
       ​

       $\displaystyle 0-3=-3=3\in I$

     • •
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       $\displaystyle 3-0=3\in I$

     • •
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       $\displaystyle 3-3=0\in I$

  3. 3.
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     Cumple la propiedad de absorcion.

  Luego $\displaystyle I=\{0,3\}$ es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}$. Como alternativa, se puede demostrar teniendo en cuenta que $\displaystyle I=\{0,3\}=I_{3}=(3)$. $\displaystyle\{0,3\}$ es el conjunto de todos los multiplos de $\displaystyle 3$.

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  $\displaystyle\{x^{2}p(x)\mid p\in\mathbb{Z}[x]\}$ es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$. Para demostrar que $\displaystyle I$ es ideal basta con darse cuenta de que $\displaystyle I$ es el conjunto de todos los multiplos de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$ del polinomio $\displaystyle x^{2}$ y utilizar la propiedad 2. $\displaystyle I=(x^{2})$.

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  $\displaystyle\{2a+xp(x)\mid a\in\mathbb{Z},p\in\mathbb{Z}[x]\}$ es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$. $\displaystyle I$ consiste en todos los polinomios con termino independiente par. Vamos a demostrar que $\displaystyle I$ es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$:

  1. 1.
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     $\displaystyle c(x)=0$, el polinomio constante $\displaystyle 0$, es el neutro para la suma de este anillo. $\displaystyle 0\in I$ porque se obtiene tomando $\displaystyle a=0$ y $\displaystyle p(x)=0$.

  2. 2.
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     Cerrado para la resta:

     $$\displaystyle\begin{rcases}2a+xp(x)\in I\\ 2b+xq(x)\in I\end{rcases}\Rightarrow(2a+xp(x))-(2b+xq(x))=2\underbrace{(a-b)}_{\in\mathbb{Z}}+x\underbrace{(p(x)-q(x))}_{\in\mathbb{Z}[x]}\in I$$
  3. 3.
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     Absorcion:

     $$\displaystyle\begin{rcases}(x)=2a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\in I\\ g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots\in\mathbb{Z}[x]\end{rcases}\Rightarrow f(x)\cdot g(x)=2\cdot a\cdot b_{0}+\cdots\in I$$

     Luego $\displaystyle I$ es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$

  Vamos a demostrar que $\displaystyle I$ no es principal, es decir, que $\displaystyle I$ no esta generado por un solo elemento. Por reduccion al absurdo, vamos a suponer que $\displaystyle I$ es principal, es decir, que existe $\displaystyle q(x)$ tal que $\displaystyle I=(q(x))$. Observamos que $\displaystyle f(x)=2$ (polinomio constante). Como $\displaystyle 2\in I$ y estoy suponiendo que $\displaystyle q(x)$ genera $\displaystyle I\Rightarrow\exists p(x)\in\mathbb{Z}[x]\mid 2=p(x)q(x)$. La unica opcion es que tanto $\displaystyle p(x)$ como $\displaystyle q(x)$ sean polinomios constantes. Solo hay 4 opciones: $\displaystyle p(x)=1\text{ y }q(x)=2$, $\displaystyle p(x)=2$ y $\displaystyle q(x)=1$, $\displaystyle p(x)-1$ y $\displaystyle q(x)=-2$, y $\displaystyle p(x)=-2$ y $\displaystyle q(x)=-1$. Como $\displaystyle 1,-1\not\in I$ pero $\displaystyle q(x)\in I$, esto no es una opcion. Puede ser $\displaystyle I=(2)=(-2)$. $\displaystyle g(x)=x\not\in(2)$. Pero $\displaystyle x\in I$ porque tiene termino independiente par. Esto es una contradiccion. Por tanto, $\displaystyle I$ no es principal.

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  $\displaystyle\mathbb{Z}$ es subanillo pero no ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$. Puedo ver $\displaystyle\mathbb{Z}$ como un subanillo de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$ identificando $\displaystyle\mathbb{Z}$ como el conjunto de los polinomios constantes. $\displaystyle\mathbb{Z}$, obviamente, es subanillo. Sin embargo, no tiene la propiedad de absorcion:

  $$\displaystyle\begin{rcases}f(x)=1\in\mathbb{Z}\\ g(x)=x\in\mathbb{Z}[x]\end{rcases}\Rightarrow f(x)\cdot g(x)=x\not\in\mathbb{Z}$$

  Esto es un contraejemplo a la absorcion.

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  $\displaystyle K\coloneqq\left\{\begin{pmatrix}a&b\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}$ es subanillo pero no ideal de $\displaystyle\mathcal{{M}}_{2\times 2}(\mathbb{R})$. Se puede verificar facilmente que cumple la caracterizacion de subanillo. Veamos que no tiene absorcion.

  $$\displaystyle\begin{pmatrix}a&b\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a^{\prime}&b^{\prime}\\ c^{\prime}&d^{\prime}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cdot a^{\prime}&b\cdot b^{\prime}\\ 0&0\\ \end{pmatrix}$$

  Pero no se tiene la absorcion por el otro lado:

  $$\displaystyle\begin{pmatrix}a^{\prime}&b^{\prime}\\ c^{\prime}&d^{\prime}\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\ 0&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cdot a^{\prime}&b\cdot b^{\prime}\\ c^{\prime}\cdot a&c^{\prime}\cdot b\\ \end{pmatrix}\not\in K$$

  Por ejemplo, $\displaystyle\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&1\\ \end{pmatrix}\not\in K$. Luego $\displaystyle K$ no es ideal.

Veremos cuales son los anillos cociente de los anillos en el ejemplo Ejemplo.

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  Sea $\displaystyle A$ un anillo cualquiera y $\displaystyle I=A$. Dados $\displaystyle x,y\in A$, $\displaystyle x\equiv y\text{ mod }I\Leftrightarrow x-y\in I=A$. Luego en $\displaystyle A/A$ solo hay una clase: $\displaystyle 0_{A}+A$. $\displaystyle A/A=\{0_{A}+A\}$ es un anillo con un unico elemento. Si $\displaystyle I=\{0_{A}\}$, $\displaystyle x\equiv y\text{ mod }\{0_{A}\}\Rightarrow x-y=0_{A}\Rightarrow x=y$. Luego $\displaystyle a+\{0_{A}\}=\{a\}$. Cada clase tiene un unico elemento. Obtengo un anillo que es practicamente $\displaystyle A$. La diferencia es que en lugar de ser los elementos de $\displaystyle A$, son sus clases. En general, la funcion

  	$\displaystyle f\colon A$	$\displaystyle\longrightarrow A/\{0_{A}\}$
  	$\displaystyle a$	$\displaystyle\longmapsto f(a)=\{a\}$

  es isomorfismo de anillos ($\displaystyle A/\{0_{A}\}\cong A$).

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  Sea $\displaystyle\mathbb{Z}$ y $\displaystyle I=7\mathbb{Z}$. Las clases son $\displaystyle 0+7\mathbb{Z}$, $\displaystyle 1+7\mathbb{Z}$, $\displaystyle 2+7\mathbb{Z}$, $\displaystyle 3+7\mathbb{Z}$, $\displaystyle 4+7\mathbb{Z}$, $\displaystyle 5+7\mathbb{Z}$, $\displaystyle 6+7\mathbb{Z}$. En este caso $\displaystyle\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{7}$. $\displaystyle x\equiv y\text{ mod }7\mathbb{Z}\Leftrightarrow x-y\in 7\mathbb{Z}\Rightarrow x-y$ es multiplo de 7 $\displaystyle\Leftrightarrow x\equiv y\text{ mod }7$. En general, si $\displaystyle n\geq 2$, $\displaystyle\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{n}$.

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  $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5]\}$ $\displaystyle\leftarrow$ es un anillo cociente de $\displaystyle\mathbb{Z}$ porque $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. $\displaystyle I=\{[0],[3]\}$ es un ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}$. Veamos quien es $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}/I$. $\displaystyle[0]+I=\{[0]+[0],[0]+[3]\}=\{[0],[3]\}$. $\displaystyle[1]+I=\{[1]+[0],[1]+[3]\}=\{[1],[4]\}$. $\displaystyle[2]+I=\{[2]+[0],[2]+[3]\}=\{[2],[5]\}$. Ya estan todos los elementos de $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}$.

  $$\displaystyle\mathbb{Z}_{6}/I=\{0+I,1+I,2+I\}.$$

  Ademas, se tiene que $\displaystyle\mathbb{Z}_{6}/I\cong\mathbb{Z}_{3}$ (se puede comprobar haciendo tabla para la suma y el producto, observando que son modulo 3).

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  $\displaystyle A=\mathbb{Z}[x]$ y $\displaystyle I=(x^{2})=\{x^{2}\cdot p(x)\mid p(x)\in\mathbb{Z}[x]\}$. $\displaystyle A/I=\{q(x)+I\mid q(x)\in\mathbb{Z}[x]\}$. Dada una clase, cual sera el representante mas sencillo? Un ejemplo de polinomio es $\displaystyle q(x)=3+7x-8x^{2}+15x^{4}$. Si tomo $\displaystyle g(x)=3+7x$, tengo que $\displaystyle g(x)+I=q(x)+I$ porque $\displaystyle q(x)-g(x)=3+7x-8x^{2}+14x^{4}-(3+7x)=-8x^{2}+15x^{4}=x^{2}(-8+15x^{2})\in I$. En general, dado $\displaystyle q(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}$ el polinomio $\displaystyle g(x)=a_{0}+a_{1}x$ esta en la misma clase porque $\displaystyle q(x)-g(x)=a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=x^{2}(a_{2}+\cdots)\in I$. Mi cociente lo puedo expresar como $\displaystyle A/I=\{a_{0}+a_{1}x+I\mid a_{0},a_{1}\in\mathbb{Z}\}$. Ademas, estos representantes forman un “conjunto completo de representantes”, es decir, estan todas las clases y no hay clases repetidas. Supongamos que $\displaystyle a_{0}+a_{1}x+I=b_{0}+b_{1}x+I$. Entonces $\displaystyle a_{0}+a_{1}x-b_{0}-b_{1}x$ es multiplo de $\displaystyle x^{2}$. La unica forma es que sea $\displaystyle 0\Rightarrow a_{0}+a_{1}x=b_{0}+b_{1}x$. Este cociente es el que tiene como representantes a todas las clases de polinomios de grado $\displaystyle\leq 1$.

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  $\displaystyle A=\mathbb{Z}[x]$ y $\displaystyle I=\{2a+xp(x)\mid a\in\mathbb{Z},p\in\mathbb{Z}[x]\}$. $\displaystyle f(x)\equiv g(x)\text{ mod }I\Leftrightarrow f(x)-g(x)\in I\Leftrightarrow f(x)-g(x)$ tiene termino independiente par. Quien es $\displaystyle 0+I$? $\displaystyle 0+I=I$. Si $\displaystyle f(x),g(x)\neq I\Rightarrow$ tienen termino independiente impar $\displaystyle\Rightarrow$ su resta tiene termino independiente par $\displaystyle\Rightarrow f(x)\equiv g(x)\text{ mod }I$. Solo hay 2 clases de equivalencia. $\displaystyle A/I=\{0+I,1+I\}$. Ya sabemos que $\displaystyle A/I\cong\mathbb{Z}_{2}$ (porque es el unico anillo unitario con 2 elementos).

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  $\displaystyle\mathbb{Z}$ es subanillo de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$. $\displaystyle f(x)\equiv g(x)\text{ mod }\mathbb{Z}$. Supongamos que en el cociente que queda intento definir la multiplicacion operando representantes: $\displaystyle((x+1)+\mathbb{Z})((x+2)+\mathbb{Z})=(x^{2}+3x+2)+\mathbb{Z}$. Cambiando representante, $\displaystyle((x+2)+\mathbb{Z})((x+2)+\mathbb{Z})=(x^{2}+4x+4)+\mathbb{Z}$ pero $\displaystyle(x^{2}+3x+2)+\mathbb{Z}\neq(x^{2}+4x+4)+\mathbb{Z}$ Esta operacion no esta bien definida porque depende de la eleccion de representante (no ha funcionado porque $\displaystyle\mathbb{Z}$ no es ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}[x]$).

Dada la funcion

demostrar que esra bien definida y que es un homomorfismo de anillos. Hallar explicitamente $\displaystyle Kerf$, $\displaystyle Imf$, el anillo cociente $\displaystyle\mathbb{Z}_{20}/Kerf$ y la funcion $\displaystyle\overline{f}$ que aparece en el corolario 1 del primer teorema de isomorfia. Vamos a ver que $\displaystyle f$ esta bien definida (porque esta definida sobre un cociente y depende del representante). $\displaystyle[x]_{20}=[y]_{20}\overset{?}{\Rightarrow}[6x]_{10}=[6y]_{10}$. $\displaystyle[x]_{20}=[y]_{20}\Rightarrow x-y=20\cdot k\Rightarrow 6x-6y=120k=10\cdot 12\cdot k\Rightarrow[6x]_{10}=[6y]_{10}$. Luego esta bien definida. Veamos que $\displaystyle f$ es homomorfismo.

Para el producto, $\displaystyle f([x]_{20}\cdot[y]_{20})=f([xy]_{2}0)=[6xy]_{10}$ y $\displaystyle f([x]_{20})f([y]_{2}0)=[6x]_{10}\cdot[6y]_{10}=[36xy]_{10}=[36]_{10}\cdot[xy]_{10}=[6]_{10}\cdot[xy]_{1}0=[6xy]_{10}$. Ya se que $\displaystyle f$ es homomorfismo de anillos. $\displaystyle Kerf?$, $\displaystyle Imf?$.

Por tanto, $\displaystyle Imf=\{[0]_{10},[6]_{10},[2]_{10},[8]_{10},[4]_{10}\}=P$. $\displaystyle K=Kerf=\{[0]_{20},[5]_{20},[10]_{20},[15]_{20}\}$ $\displaystyle\rightarrow$ ideal de $\displaystyle\mathbb{Z}_{20}$ porque es el nucleo de un homomorfismo. Quien es $\displaystyle\mathbb{Z}_{20}/K$?