1 Anillos. Generalidades.

1. 1.
   ​

   Sea $\displaystyle G$ un grupo y $\displaystyle e$ un elemento neutro de $\displaystyle G$. Supongamos que $\displaystyle e^{\prime}$ es un elemento de $\displaystyle G$ con la propiedad que define el neutro. Vamos a ver que necesariamente $\displaystyle e=e^{\prime}$.

   $$\displaystyle e\overset{e^{\prime}\text{ neutro}}{=}e\odot e^{\prime}\overset{e\text{ neutro}}{=}e^{\prime}$$

   Observación.

   Como consecuencia, el neutro 0 de la suma para un anillo $\displaystyle A$ es unico (porque $\displaystyle(A,\oplus)$ es un grupo).

2. 2.
   ​

   Sean $\displaystyle a,b,c\in G$ tal que $\displaystyle a\cdot b=a\cdot c$. Por el axioma de inversos $\displaystyle\Rightarrow$ existe $\displaystyle d\in G$ tal que $\displaystyle a\cdot d=e$.

   $$\displaystyle d\cdot(a\cdot b)=d\cdot(a\cdot c)\overset{\text{Asociativa}}{\Rightarrow}(d\cdot a)\cdot b=(d\cdot a)\cdot c\Rightarrow e\cdot b=e\cdot c\overset{\text{Neutro}}{\Rightarrow}b=c$$

   $\displaystyle b\cdot a=c\cdot a\Rightarrow b=c$ es analogo.

   Observación.

   Como consecuencia, en un anillo $\displaystyle A$ se tiene cancelacion para la suma: $\displaystyle\forall a,b,c\in A\quad a+b=a+c\Rightarrow b=c$

3. 3.
   ​

   Sea $\displaystyle a\in G$. Supongamos que $\displaystyle b,c$ son inversos de $\displaystyle a\Rightarrow a\cdot b=e$ y $\displaystyle a\cdot c=e$, siendo $\displaystyle e$ el neutro de $\displaystyle G$. Como $\displaystyle ab=ac$, por cancelacion $\displaystyle b=c$.

   Observación.

   Esto implica que en un anillo el opuesto para la suma es unico.

   – Supongamos que $\displaystyle u,v\in A$ son neutros para el producto. Entonces $\displaystyle u\overset{v\text{ neutro}}{=}u\cdot v\overset{u\text{ neutro}}{=}v$. Luego el neutro es unico. – Sea $\displaystyle a\in A$ un elemento invertible. Supongamos que $\displaystyle b,c\in A$ son inversos de $\displaystyle a$. Entonces $\displaystyle a\cdot b=1=a\cdot c$. Multiplicando por $\displaystyle b$,

   $$\displaystyle b\cdot a\cdot b=b\cdot a\cdot c\Rightarrow 1\cdot b=1\cdot c\Rightarrow b=c$$
4. 4.
   ​

   $\displaystyle a\cdot 0=a\cdot(0+0)=a0+a0\Rightarrow 0+a0=a0+a0\overset{\text{Cancelacion}}{\Rightarrow}0=a0$.

∎

D1: Cerrado para la suma D2: Cerrado para el producto D3: Cumple la def de anillo D1,D2,D3 $\displaystyle\Leftrightarrow$ 1,2,3,4 “$\displaystyle\Rightarrow$” D1 = 3 y D2 = 4. Como $\displaystyle B$ es anillo por $\displaystyle D3\Rightarrow\exists 0_{B}\in B$. Vamos a demostrar que $\displaystyle 0_{B}=0_{A}$.

Igualando, $\displaystyle 0_{B}+0_{A}=0_{B}+0_{B}\Rightarrow 0_{A}=0_{B}$. Por tanto, $\displaystyle 0_{A}\in B$. Hemos demostrado 1. Nos queda demostrar 2. Sea $\displaystyle r\in B$. Como por D3 $\displaystyle B$ es un subanillo, $\displaystyle r$ tiene opuesto en $\displaystyle B\Rightarrow\exists s\in B/r+_{B}s=0_{B}\Rightarrow r+s=0_{A}$ (usamos que $\displaystyle 0_{A}=0_{B}$ y que $\displaystyle+_{B}$ es la operacion restringida). Por unicidad del opuesto, $\displaystyle s=-r\Rightarrow-r\in B$. “$\displaystyle\Leftarrow$” Se tienen D1 y D2 porque se cumplen 3 y 4. $\displaystyle B\neq\varnothing$ porque $\displaystyle 0_{A}\in B$. Me falta demostrar D3 que son los 6 axiomas de la definicion de anillo: A1, A2, A3, A4, A5, A6. A1, A4, A5, A6 se cumplen para la $\displaystyle+_{B}$ y $\displaystyle\cdot_{B}$ porque se cumplen para todos los elementos de $\displaystyle A$ y las operaciones en $\displaystyle B$ son las de $\displaystyle A$ restringidas. Es decir, las propiedades se “heredan” en $\displaystyle B$. Vamos a demostrar A2 (existencia de neutro para la suma). Como por 1 se tiene que $\displaystyle 0_{A}\in B$ tengo que $\displaystyle 0_{A}$ funciona como neutro para la suma en $\displaystyle B$. Ademas, se que $\displaystyle 0_{A}=0_{B}$. Vamos a demostrar A3 (existencia de opuestos). Sea $\displaystyle r\in B$, tengo que demostrar que $\displaystyle r$ tiene opuesto en $\displaystyle B$. Sea $\displaystyle s$ el opuesto de r en $\displaystyle A$. Se que $\displaystyle r+s=0_{A}$. Por 2, se que $\displaystyle s\in B$. Por tanto, $\displaystyle r+_{B}s=0_{A}=0_{B}\Rightarrow s$ es el opuesto de $\displaystyle r$ en $\displaystyle B$. ∎

Queda como ejercicio. ∎

Sea $\displaystyle a\in A$ invertible. Sabemos que si $\displaystyle a$ es invertible, $\displaystyle a\neq 0$. Supongamos que $\displaystyle a$ es divisor de cero $\displaystyle\Rightarrow\exists b\neq 0\mid a\cdot b=0$. En la igualdad multiplico por $\displaystyle a^{-1}$ y tengo

Esto es una contradiccion porque hemos supuesto que $\displaystyle b\neq 0$. Luego $\displaystyle a$ no es divisor de cero. ∎

Si $\displaystyle A$ es un cuerpo, tambien es un a.c.c.u. Ademas, como $\displaystyle A$ es un cuerpo se cumple que $\displaystyle\forall a\neq 0,a$ es invertible. Por el teorema 1, $\displaystyle\forall a\neq 0$, a no es divisor de cero $\displaystyle\Rightarrow A$ es D.I. ∎

“$\displaystyle\Rightarrow$” Tenemos que $\displaystyle a\neq 0$ y $\displaystyle ab=ac$. Entonces

“$\displaystyle\Leftarrow$” Tengo que demostrar que $\displaystyle A$ no tiene divisores de cero. Lo demostramos por reduccion al absurdo. Supongamos que si hay divisores de cero. Entonces $\displaystyle\exists a,b\neq 0\mid a\cdot b=0$.

Esto es una contradiccion porque $\displaystyle b\neq 0$. Luego no hay divisor de cero en $\displaystyle A\Rightarrow A$ es D.I. ∎

Quiero demostrar que $\displaystyle A$ es un cuerpo. Como $\displaystyle A$ es D.I. $\displaystyle\Rightarrow$ A es un anillo conmutativo con unidad. Tengo que demostrar que todo elemento no nulo de $\displaystyle A$ tiene inverso. Sea $\displaystyle a\in A$ con $\displaystyle a\neq 0$, veamos que $\displaystyle a$ tiene inverso. Defino una funcion, que consiste en multiplicar por $\displaystyle a$

Si consigo demostrar que $\displaystyle f$ es suprayectiva $\displaystyle\Rightarrow 1\in Imf\Rightarrow\exists b\in A\mid f(b)=1\Rightarrow ab=1\Rightarrow b=a^{-1}$ y $\displaystyle a$ es invertible. Vamos a demostrar que $\displaystyle f$ es inyectiva. Sean $\displaystyle b_{1},b_{2}\in A$ tales que $\displaystyle f(b_{1})=f(b_{2})\overset{DEF}{\Rightarrow}ab_{1}=ab_{2}\overset{\text{Lema 1}}{\Rightarrow}b_{1}=b_{2}$ $\displaystyle\Rightarrow f$ es inyectiva. Como $\displaystyle f$ es una funcion inyectiva entre dos conjuntos finitos del mismo cardinal, $\displaystyle f$ tiene que ser suprayectiva. ∎

$\displaystyle[a]$ tiene inverso $\displaystyle\Leftrightarrow ax\equiv 1\text{ mod }n$ tiene solucion $\displaystyle\Leftrightarrow ax-1=n\cdot y$ tiene solucion $\displaystyle\Leftrightarrow ax+(-n)y=1$ tiene solucion $\displaystyle\Leftrightarrow mcd(a,n)=1$. ∎

$\displaystyle n$ primo $\displaystyle\Rightarrow 1,2,\ldots,n-1$ tienen $\displaystyle mcd=1$ con $\displaystyle n$. $\displaystyle n$ compuesto $\displaystyle\Rightarrow\exists d\in{1,2,\ldots,n-1}$ tal que $\displaystyle d$ tiene un factor comun con $\displaystyle n\Rightarrow mcd(b,n)\geq 2\Rightarrow[d]$ no es invertible. ∎

1. 1.
   ​

   $\displaystyle f(0_{A})=f(0_{A}+0_{A})=f(0_{A})+f(0_{A})\Rightarrow 0_{B}+f(0_{A})=f(0_{A})+f(0_{A})\Rightarrow 0_{B}=f(0_{A})$

2. 2.
   ​

   $\displaystyle f(a)+f(-a)=f(a+(-a))=f(0_{A})=0_{B}$. Por la unicidad del elemento opuesto, llegamos a que $\displaystyle f(-a)=-f(a)$.

∎

Sean $\displaystyle a,b\in A$

Esto es analogo para el producto. ∎

1. 1.
   ​

   $\displaystyle f$ es isomorfismo. Como $\displaystyle f$ es biyectiva $\displaystyle\Rightarrow\exists f^{-1}\colon B\to A$ otra funcion biyectiva. Tengo que demostrar que $\displaystyle f^{-1}$ es isomorfismo. Falta ver que preserva suma y producto. Tenemos que demostrar que $\displaystyle\forall b_{1},b_{2}\in B\;f^{-1}(b_{1}+b_{2})=f^{-1}(b_{1})+f^{-1}(b_{2})$. Como $\displaystyle f$ es biyectiva, sabemos que $\displaystyle\exists a_{1},a_{2}\in A\mid f(a_{1})=b_{1}$, $\displaystyle f(a_{2})=b_{2}$. Luego

   $$f^{-1}(b_{1}+b_{2})=f^{-1}(f(a_{1})+f(a_{2}))=f^{-1}(f(a_{1}+a_{2}))=a_{1}+a_{2}=\\ =f^{-1}(b_{1})+f^{-1}(b_{2})$$

   La demostracion para el producto es analoga.

2. 2.
   ​

   Supongamos que $\displaystyle A$ es conmutativo. Sean $\displaystyle b_{1},b_{2}\in B$ cualesquiera. Tenemos que ver si $\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}=b_{2}\cdot b_{1}$ Sean $\displaystyle a_{1},a_{2}\in A$ tales que $\displaystyle f(a_{1})=b_{1}$, $\displaystyle f(a_{2})=b_{2}$ (existen por ser $\displaystyle f$ biyectiva). Entonces

   $$b_{1}\cdot b_{2}=f(a_{1})\cdot f(a_{2})=f(a_{1}\cdot a_{2})=f(a_{2}\cdot a_{1})=f(a_{2})\cdot f(a_{1})=b_{2}\cdot b_{1}$$
3. 3.
   ​

   Por el enunciado, se que el candidato a neutro del producto en $\displaystyle B$ es $\displaystyle f(1_{A})$. Voy a comprobar que funciona. Tengo que ver que $\displaystyle\forall b\in B\;f(1_{A})\cdot b=b$ y $\displaystyle b\cdot f(1_{A})=b$. Como $\displaystyle f$ es biyectiva $\displaystyle\Rightarrow\exists a\in A\mid f(a)=b$. Entonces

   $$\displaystyle f(1_{A})\cdot b=f(1_{A})\cdot f(a)\overset{fhom}{=}f(1_{A}\cdot a)\overset{\text{Neutro}}{=}f(a)=b$$

   Analogamente, $\displaystyle b\cdot f(1_{A})=b$. Por tanto $\displaystyle B$ es unitario $\displaystyle 1_{B}=f(1_{A})$.

   Observación.

   Es suficiente con que $\displaystyle f$ sea un homomorfismo suprayectivo.

   Sea ahora $\displaystyle a\in A$ invertible. Tengo que ver que $\displaystyle f(a)$ es invertible en $\displaystyle B$. El enunciado me da el candidato $\displaystyle f(a^{-1})$. Pruebo que funciona. Multiplico $\displaystyle f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=f(1_{A})=1_{B}$. Analogamente $\displaystyle f(a^{-1})\cdot f(a)=1_{B}\Rightarrow$ los dos elementos son inversos uno de otro, es decir, el inverso de $\displaystyle(f(a))^{-1}=f(a^{-1})$.

4. 4.
   ​

   Si $\displaystyle A$ es cuerpo,

   $$\displaystyle\begin{dcases}A\text{ conmutativo}\overset{2}{\Rightarrow}B\text{ conmutativo}\\ A\text{ unitario}\overset{3}{\Rightarrow}B\text{ unitario}\end{dcases}$$

   Sea $\displaystyle b\in B,b\neq 0_{B}$, tengo que ver que $\displaystyle b$ es invertible. Como $\displaystyle f$ es biyectiva, existe $\displaystyle a\in A$ tal que $\displaystyle f(a)=b$. Como $\displaystyle f(0_{A})=f(0_{B})$, $\displaystyle b\neq 0_{B}$ y $\displaystyle f$ es biyectiva, $\displaystyle a\neq 0_{A}\Rightarrow a$ es invertible. Por la propiedad 3 y que $\displaystyle b=f(a)$, $\displaystyle b$ es invertible.

∎

1. 1.
   ​

   Reflexiva: $\displaystyle id\colon A\to A$ es obviamente biyectiva y homomorfismo $\displaystyle\Rightarrow A\cong A$

2. 2.
   ​

   Simetrica: Si $\displaystyle A\cong B\Rightarrow\exists f\colon A\to B$ isomorfismo $\displaystyle\Rightarrow f^{-1}\colon B\to A$ isomorfismo (prop 11) $\displaystyle\Rightarrow B\cong A$

3. 3.
   ​

   Transitiva: Supongamos que $\displaystyle A\cong B$ y $\displaystyle B\cong C$ $\displaystyle\Rightarrow\exists f\colon A\to B$ y $\displaystyle\exists g\colon B\to C$ isomorfismos $\displaystyle\Rightarrow g\circ f$ homomorfismo. Veamos que la composicion de funciones biyectivas es biyectiva

   $$\displaystyle(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$

   porque

   $$\displaystyle(g\circ f)(f^{-1}\circ g^{-1})=g\circ id_{B}\circ g^{-1}=g\circ g^{-1}=id_{C}$$

   $$\displaystyle(f^{-1}\circ g^{-1})(g\circ f)=f^{-1}\circ id_{B}\circ f=f^{-1}\circ f=id_{A}$$

   Luego $\displaystyle g\circ f\colon A\to C$ isomorfismo $\displaystyle\Rightarrow A\cong C$

∎

1. 1.
   ​

   Veamos que $\displaystyle Kerf$ es subanillo de $\displaystyle A$

   •  
     ​

     $\displaystyle 0_{A}\in Kerf$ porque $\displaystyle f(0_{A})=0_{B}$

   •  
     ​

     Cerrado para la resta: Sean $\displaystyle a,b\in Kerf$,

     $$\displaystyle f(a-b)=f(a+(-b))=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)=0_{B}-0_{B}=0_{B}$$

     Luego $\displaystyle a-b\in Kerf$.

   •  
     ​

     Cerrado para el producto: Sean $\displaystyle a,b\in A$

     $$\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)=0_{B}\cdot 0_{B}=0_{B}\Rightarrow a\cdot b\in Kerf$$
2. 2.
   ​

   $\displaystyle f$ inyectiva $\displaystyle\Leftrightarrow Kerf=\{0_{A}\}$ “$\displaystyle\Rightarrow$” Se que $\displaystyle 0_{A}\in Kerf$. Sea $\displaystyle a\neq 0_{A}\Rightarrow f(a)\neq f(0_{A})=0_{B}\Rightarrow Kerf=\{0_{A}\}$ “$\displaystyle\Leftarrow$” Voy a ver que $\displaystyle f$ es inyectiva. Sea $\displaystyle a,b\in A$. Supongamos que $\displaystyle f(a)=f(b)$. Entonces

   $$\displaystyle f(a)-f(b)=0_{B}\Rightarrow f(a-b)=0_{B}\Rightarrow a-b\in Kerf\Rightarrow a-b=0_{A}\Rightarrow a=b$$
3. 3.
   ​

   Veamos que $\displaystyle Imf$ es subanillo de $\displaystyle B$.

   •  
     ​

     $\displaystyle 0_{B}\in Imf$ porque $\displaystyle f(0_{A})=0_{B}$

   •  
     ​

     Sean $\displaystyle b_{1},b_{2}\in Imf\Rightarrow\exists a_{1},a_{2}\in A\mid f(a_{1})=b_{1}$ y $\displaystyle f(a_{2})=b_{2}$.

     $$\displaystyle b_{1}-b_{2}=f(a_{1})-f(a_{2})=f(a_{1}-a_{2})\Rightarrow b_{1}-b_{2}\in Imf$$
   •  
     ​

     $\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}=f(a_{1})\cdot f(a_{2})=f(a_{1}\cdot a_{2})\Rightarrow b_{1}\cdot b_{2}\in Imf$

4. 4.
   ​

   Es la definicion de suprayectiva.

∎