7 Combinaciones lineales, vectores linealmente independientes y bases

Definición 7.1 (Combinación lineal).

Sean $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ vectores de $\displaystyle V$ . Decimos que el vector $\displaystyle v\in V$ es combinación lineal de $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ si existen escalares $\displaystyle\alpha_{1},\ldots,\alpha_{k}\in\mathbb{K}$ tales que

\displaystyle v=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}

Ejemplo.

El vector $\displaystyle(1,2,3)$ es combinación lineal de los vectores $\displaystyle(1,1,1)$ , $\displaystyle(1,0,1)$ y $\displaystyle(0,1,1)$ :

\displaystyle(1,2,3)=x(1,1,1)+y(1,0,1)+z(0,1,1),

\displaystyle\begin{dcases}x+y=1\\ x+z=2\\ x+y+z=3\end{dcases}\Rightarrow\text{S.C.D}

Luego $\displaystyle\exists x,y,z\in\mathbb{K}$ tales que $\displaystyle v=xv_{1}+yv_{2}+zv_{3}$ .

Lema 7.1.

Dados los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ , el conjunto de todas las combinaciones lineales de $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ es un subespacio vectorial y lo denotamos por $\displaystyle\langle v_{1},\ldots,v_{k}\rangle$ :

\displaystyle\langle v_{1},\ldots,v_{k}\rangle=\{\alpha_{1}v_{1}+\cdots\alpha_% {k}v_{k}\mid\alpha_{1},\ldots,\alpha_{k}\in\mathbb{K}\}

Demostración.

Por la caracterización de subespacios vectoriales. ∎

Definición 7.2.

El subespacio $\displaystyle S=\langle v_{1},\ldots,v_{k}\rangle$ se llama subespacio generado por los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ y a los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ se les llama sistema generador del subespacio $\displaystyle S$ .

Dos familias de vectores son equivalentes si generan el mismo subespacio vectorial.

Definición 7.3 (Linealmente independientes).

Decimos que los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ son linealmente independientes cuando

\displaystyle\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0_{V}\Rightarrow\alpha_{1}% =0,\ldots,\alpha_{k}=0.

Equivalentemente, son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

Cuando los vectores no son linealmente independientes decimos que son linealmente dependientes.

Observación.

1.

Si $\displaystyle 0_{V}$ es uno de los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ , entonces siempre son linealmente dependientes.
2.

Si $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ son linealmente dependientes, entonces cualquier subconjunto de vectores escogidos entre $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ sigue siendo linealmente independiente.
3.

Si $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ son vectores linealmente dependientes, entonces si añadimos más vectores a $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ , éstos seguirán siendo linealmente dependientes.
4.

Si $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}$ son linealmente dependientes, entonces alguno de ellos se puede despejar como combinación lineal de los demás.
5.

Dos vectores $\displaystyle v_{1},v_{2}$ son linealmente independientes si uno no es múltiplo por un escalar del otro.

Definición 7.4 (Base).

Decimos que una familia de vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ es una base de $\displaystyle V$ , y la denotamos por $\displaystyle\mathcal{{B}}=\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ si son linealmente independientes y son sistema generador (de $\displaystyle V$ ).

En ese caso, todo vector $\displaystyle v$ de $\displaystyle V$ se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de $\displaystyle\mathcal{{B}}$ : por ser sistema generador, existen $\displaystyle x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{K}$ tales que $\displaystyle v=x_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n}$ . Además, estos escalares son únicos, puesto que si

\displaystyle x_{1}v_{1}+\cdots x_{n}v_{n}=y_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n}

entonces, restando,

\displaystyle(x_{1}-y_{1})v_{1}+\cdots+(x_{n}-y_{n})v_{n}=0_{V}

y, como son linealmente independientes, $\displaystyle x_{1}=y$ , $\displaystyle\ldots$ , $\displaystyle x_{n}=y_{n}$ . A los únicos $\displaystyle(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{K}^{n}$ que permiten expresar $\displaystyle v$ como combinación lineal de los vectores de $\displaystyle\mathcal{{B}}$ se les llaman coordenadas de $\displaystyle v$ respecto de la base $\displaystyle\mathcal{{B}}$ .

\displaystyle(v)_{\mathcal{{B}}}=(x_{1},\ldots,x_{n}).

Ejemplo.

1.

$\displaystyle\mathbb{K}$ como espacio vectorial sobre $\displaystyle\mathbb{K}$ tiene de base a $\displaystyle\mathcal{{B}}=\{1\}$ . Por ejemplo, $\displaystyle\mathbb{C}$ como espacio vectorial sobre $\displaystyle\mathbb{C}$ tiene de base a $\displaystyle\mathcal{{B}}=\{1\}$ . Sin embargo, si consideramos $\displaystyle\mathbb{C}$ como espacio vectorial sobre $\displaystyle\mathbb{R}$ una base sería $\displaystyle\mathcal{{B}}=\{1,i\}$ (necesitamos como mínimo dos vectores para tener un sistema generador).
2.

El espacio vectorial $\displaystyle V=\{0_{V}\}$ no tiene base porque no tiene ninguna familia de vectores linealmente independientes. Por convenio decimos que $\displaystyle\mathcal{{B}}=\varnothing$ es la base de este espacio vectorial.
3.
$\displaystyle\{1+x,1-x\}$ es una base del espacio vectorial $\displaystyle\mathbb{K}_{1}[x]$ :
- Son sistema generador ya que cualquier polinomio de grado menor o igual que $\displaystyle 1$ , $\displaystyle a+bx$ , se puede escribir como
  
  $\displaystyle a+bx=\lambda(1+x)+\mu(1-x)$
  
  ya que el sistema (con incógnitas $\displaystyle\lambda$ y $\displaystyle\mu$ )
  
  $\displaystyle\begin{dcases}\lambda+\mu=a\\ \lambda-\mu-b\end{dcases}$
  
  es sistema compatible (de hecho, $\displaystyle\lambda=\frac{a+b}{2},\mu=\frac{a-b}{2}$ es solución del sistema).
- Son linealmente independientes ya que si $\displaystyle\lambda(1+x)+\mu(1-x)=0$ entonces
  
  $\displaystyle\begin{dcases}\lambda+\mu=0\\ \lambda-\mu=0\end{dcases}$
  
  y la única solución del sistema es $\displaystyle\lambda=0,\mu=0$ .

Ejemplo.

Se llaman bases canónicas a las bases más utilizadas de los espacios vectoriales $\displaystyle\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}[x],\mathbb{K}_{n}[x]$ y $\displaystyle\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ :

Base canónica de $\displaystyle\mathbb{K}^{n}:\mathcal{{BC}}=\{(1,0,\ldots,0),(0,1,\ldots,0),% \ldots,(0,\ldots,0,1)\}$ .
Base canónica de $\displaystyle\mathbb{K}[x]:\mathcal{{BC}}=\{1,x,x^{2},\ldots,x^{k},\ldots\}$ .
Base canónica de $\displaystyle\mathbb{K}_{n}[x]:\mathcal{{BC}}=\{1,x,x^{2},\ldots,x^{n}\}$ .
Base canónica de $\displaystyle\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K}):\mathcal{{BC}}=\{E_{ij}\mid i% =1,\ldots,m,\;j=1,\ldots,n\}$ .

Definición 7.5.

Decimos que $\displaystyle V$ es finitamente generado si posee algún sistema generador finito.

Lema 7.2 (Existencia de bases en espacios vectoriales finitamente generados).

Toda familia de vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{m}$ posee una subfamilia formada por vectores linealmente independientes que es equivalente a la original. En particular, todo espacio vectorial finitamente generado posee una base.

Demostración.

Si los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{m}$ son linealmente independientes, ya está el resultado. Si no, existe al menos una combinación lineal de esos vectores, con escalares no todos nulos, que hace que

\displaystyle\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\underbrace{\alpha_{i}v_{i}}_{\neq 0}+% \cdots+\alpha_{m}v_{m}=0_{V}.

Supongamos que $\displaystyle\alpha_{i}\neq 0$ , así que podemos despejar y obtener

\displaystyle v_{i}=-\frac{1}{\alpha_{i}}(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\cancel{% \alpha_{i}v_{i}}+\cdots+\alpha_{m}v_{m}).

Como el vector $\displaystyle v_{i}$ es combinación lineal de los demás,

\displaystyle\langle v_{1},\ldots,v_{i},\ldots,v_{m}\rangle=\langle v_{1},% \ldots,\cancel{v_{i}},\ldots,v_{m}\rangle,

con lo que obtenemos una familia que genera el mismo subespacio pero con un elemento menos. Repetimos el proceso hasta obtener una subfamilia equivalente cuyos vectores son linealmente independientes. ∎

Lema 7.3.

Si los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{m}$ son linealmente dependientes y $\displaystyle v_{1}\neq 0_{V}$ entonces existe algún $\displaystyle v_{i}$ que se puede poner como combinación lineal de $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{i-1}$ , es decir, uno de los vectores se puede expresar como combinación lineal de los anteriores.

Demostración.

Sabemos que existen escalares no todos nulos tal que $\displaystyle\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{m}v_{m}=0_{V}$ . Como $\displaystyle v_{1}\neq 0_{V}$ , existe $\displaystyle i>1$ tal que

\displaystyle\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\underbrace{\alpha_{i}}_{\neq 0}v_{i}=0_{V}

Despejamos $\displaystyle v_{i}$ como

\displaystyle v_{i}=-\frac{1}{\alpha_{i}}(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{i-1}v% _{i-1})

∎

Proposición 7.1.

Sea $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ una familia de vectores linealmente independientes y $\displaystyle w_{1},\ldots w_{m}$ una familia de vectores que son sistema generador de $\displaystyle V$ . Entonces $\displaystyle n\leq m$ .

Demostración.

Tomamos el primer vector de la familia de vectores linealmente independientes, $\displaystyle v_{1}$ . Como

\displaystyle v_{1}\in V=\langle w_{1},\ldots,w_{m}\rangle

se tiene que los vectores $\displaystyle v_{1},w_{1},\ldots,w_{m}$ son necesariamente linealmente independientes (uno de ellos, el primero, es combinación lineal de los demás). Por el lema anterior, como $\displaystyle v_{1}\neq 0_{V}$ existe un $\displaystyle w_{i}$ que se escribe como combinación lineal de los anteriores. Lo eliminamos y repetimos el proceso, tomando ahora el segundo vector de la familia de vectores linealmente independientes, $\displaystyle v_{2}$ , y el sistema generador de $\displaystyle V$ formado por:

\displaystyle v_{1},w_{1},\ldots,\cancel{w_{i}},\ldots,w_{m}.

De esta forma, vamos insertando “por delante” vectores del tipo $\displaystyle v_{i}$ en el sistema generador y eliminando vectores de tipo $\displaystyle w_{j}$ . Si hubiera más $\displaystyle v$ ’s que $\displaystyle w$ ’s (si $\displaystyle n:m$ ) llegaríamos a un sistema generador de la forma

\displaystyle v_{1},\ldots,v_{m}

de forma que $\displaystyle v_{m+1}\in\langle v_{1},\ldots,v_{m}\rangle$ , lo cual no es posible porque los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ son linealmente independientes por hipótesis. Llegamos, por tanto, a que $\displaystyle n\leq m$ . ∎

Teorema 7.4.

Todas las bases de un mismo espacio vectorial $\displaystyle V$ finitamente generado tienen el mismo número de elementos. A este número se le llama dimensión de $\displaystyle V$ y se denota $\displaystyle\dim_{K}V$ .

Demostración.

Sean $\displaystyle\mathcal{{B}}=\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ y $\displaystyle\mathcal{{C}}=\{w_{1},\ldots,w_{n}\}$ dos bases de $\displaystyle V$ . Veamos que $\displaystyle n=m$ .

Como $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ son linealmente independientes y $\displaystyle w_{1},\ldots,w_{m}$ son un sistema generador, $\displaystyle n\leq m$ .
Como $\displaystyle w_{1},\ldots,w_{m}$ son linealmente independientes y $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ son un sistema generador, $\displaystyle m\leq n$ .

Por tanto, $\displaystyle n=m$ . ∎

Como conocemos bases canónicas para los espacios vectoriales de tipo $\displaystyle\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}_{n}[x]$ y $\displaystyle\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ , conocemos sus dimensiones:

$\displaystyle\dim\mathbb{K}^{n}=n$ ,
$\displaystyle\dim\mathbb{K}_{n}[x]=n+1$ ,
$\displaystyle\dim\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})=mn$

Proposición 7.2.

Sea $\displaystyle V$ un espacio vectorial de dimensión $\displaystyle n$ . Son equivalentes:

1.

$\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ es una base de $\displaystyle V$
2.

$\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ es un sistema generador de $\displaystyle V$
3.

$\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ son linealmente independientes

Demostración.

$\displaystyle 1)\Rightarrow 2)$ y $\displaystyle 1)\Rightarrow 3)$: Obvio.
$\displaystyle 2)\Rightarrow 1)$: Por reducción al absurdo, si $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ no fueran linealmente independientes, por el Lema 7.2 se puede extraer una subfamilia con vectores linealmente independientes y que genere el mismo espacio que $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ , con lo que obtendríamos una base de $\displaystyle V$ con un número de vectores más pequeño que $\displaystyle n$ . Esto es una contradicción.
$\displaystyle 3)\Rightarrow 1)$: Por reducción al absurdo, si $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ no fueran sistema generador, habría algún vector $\displaystyle v\in V$ que no se pueda poner como combinación lineal de $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}$ , así que los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n},v$ seguirían siendo linealmente independientes y obtendríamos $\displaystyle n+1$ vectores linealmente independientes. Por otra parte, como $\displaystyle\dim V=n$ , tiene una base $\displaystyle\mathcal{{V}}=\{w_{1},\ldots,w_{n}\}$ . Los vectores de $\displaystyle\mathcal{{B}}$ son un sistema generador y estamos obteniendo $\displaystyle n+1$ vectores linealmente independientes y un sistema generador con $\displaystyle n$ vectores. Esto es una contradicción con la Proposición 7.1.

∎

Lema 7.5.

Sea $\displaystyle V$ un espacio vectorial finitamente generado. Toda familia de vectores linealmente independientes se puede completar hasta una base de $\displaystyle V$ .

Demostración.

Sean $\displaystyle w_{1},\ldots,w_{k}$ vectores linealmente independientes. Se toma una base $\displaystyle\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ de $\displaystyle V$ como base de referencia y van añadiendo a $\displaystyle w_{1},\ldots,w_{k}$ vectores de esta base de referencia, de uno en uno, comprobando en cada paso que seguimos teniendo vectores linealmente independientes. El proceso termina cuando tengamos $\displaystyle n$ vectores linealmente independientes, que son necesariamente una base por la Proposición 7.2. ∎

Corolario 7.1.

Sea $\displaystyle S$ un subespacio vectorial de $\displaystyle V$ . Entonces $\displaystyle\dim S\leq\dim V$ . Además,

\displaystyle\dim S=\dim V\Leftrightarrow S=V

Demostración.

Sea $\displaystyle\mathcal{{B}}_{s}$ una base de $\displaystyle S$ . Como estos vectores son linealmente independientes, se pueden completar a una base de $\displaystyle V$ por el Lema 7.5, así que $\displaystyle s\leq\dim V$ .

Además, si $\displaystyle\dim S=\dim V$ , cualquier base de $\displaystyle S$ tiene $\displaystyle n=\dim V$ vectores linealmente independientes, y por la Proposición 7.2 estos vectores son una base de $\displaystyle V$ . El subespacio generado por ellos da, por una parte $\displaystyle S$ , por ser base de $\displaystyle S$ , y por otra parte $\displaystyle V$ , por ser base de $\displaystyle V$ , con lo que $\displaystyle S=V$ . La otra implicación es obvia. ∎

Teorema 7.6.

Sean $\displaystyle S$ y $\displaystyle T$ dos subespacios de $\displaystyle V$ . Entonces

\displaystyle\dim(S+T)=\dim S+\dim T-\dim(S\cap T)

Demostración.

Si $\displaystyle\dim S=0$ entonces $\displaystyle S=\{0_{V}\}$ , en cuyo caso $\displaystyle S+T=T,S\cap T=\{0_{V}\}$ y la fórmula se cumple porque

\displaystyle\dim(S+T)=\dim T=\underbrace{\dim S}_{0}+\dim T-\underbrace{\dim(% S\cap T)}_{0}

Lo mismo ocurriría si $\displaystyle\dim T=0$ .

Supongamos que $\displaystyle\dim S=s>0$ y $\displaystyle\dim T=t>0$ . Empezamos con una base $\displaystyle\mathcal{{B}}_{S\cap T}=\{v_{1},\ldots,v_{r}\}$ de $\displaystyle S\cap T$ .

Por un lado, completamos la base $\displaystyle\mathcal{{B}}_{S\cap T}$ a una base de $\displaystyle S$ : $\displaystyle\{v_{1},\ldots,v_{r},v_{r+1},\ldots v_{s}\}$ .
Por otro lado, completamos la base $\displaystyle\mathcal{{B}}_{S\cap T}$ a una base de $\displaystyle T$ : $\displaystyle\{v_{1},\ldots,v_{r},w_{r+1},\ldots,w_{t}\}$ .

Veamos que

\displaystyle\{v_{1},\ldots,v_{r},v_{r+1},\ldots,v_{s},w_{r+1},\ldots,w_{t}\}

es una base de $\displaystyle S+T$ (si probamos esto, estaremos viendo que $\displaystyle S+T$ tiene una base con $\displaystyle s+t-r$ vectores, que es la fórmula que queremos demostrar):

Son linealmente independientes: escribimos

$\displaystyle\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{s}v_{s}+\beta_{r+1}w_{r+1}+\cdots+% \beta_{t}w_{t}=0_{V}.$

Despejando, tenemos

$\displaystyle\underbrace{\alpha_{i}v_{i}+\cdots+\alpha_{s}v_{s}}_{\in S}=-% \underbrace{(\beta_{r+1}w_{r+1}+\cdots+\beta_{t}w_{t})}_{\in T}\in S\cap T,$

y como $\displaystyle\mathcal{{B}}_{S\cap T}=\{v_{1},\ldots,v_{r}\}$ es una base de $\displaystyle S\cap T$ , existen escalares $\displaystyle\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r}$ tales que $\displaystyle-(\beta_{r+1}w_{r+1}+\cdots+\beta_{t}w_{t})=\lambda_{1}v_{1}+% \cdots+\lambda_{r}v_{r}$ . Luego

$\displaystyle\lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{r}v_{r}+\beta_{r+1}w_{r+1}+% \cdots+\beta_{t}w_{t}=0_{V}$

y usando que los vectores $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{r},w_{r+1},w_{t}$ son linealmente independientes (base de $\displaystyle T$ ) llegamos a

$\displaystyle\lambda_{1}=0,\ldots,\lambda_{r}=0,\boxed{\beta_{r+1}=0},\ldots,% \boxed{\beta_{t}=0}.$

Sustituimos en la ecuación inicial y llegamos a

$\displaystyle\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{s}v_{s}=0_{V}.$

y como $\displaystyle v_{1},\ldots,v_{s}$ son linealmente independientes (base de $\displaystyle S$ ), resulta que

$\displaystyle\boxed{\alpha_{1}=0},\ldots,\boxed{\alpha_{s}=0}.$

Son sistema generador:

	$\displaystyle\displaystyle S$	$\displaystyle\displaystyle=\langle v_{1},\ldots,v_{r},v_{r+1},\ldots,v_{s}\rangle$
	$\displaystyle\displaystyle T$	$\displaystyle\displaystyle=\langle v_{1},\ldots,v_{r},\ldots,w_{r+1},\ldots,w_% {t}\rangle$

con lo que

\displaystyle S+T=\langle v_{1},\ldots,v_{r},v_{r+1},\ldots,v_{s},w_{r+1},% \ldots,w_{r}\rangle

∎