6 Subespacios vectoriales

Definición 6.1 (Subespacio vectorial).

Sea $\displaystyle V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\displaystyle\mathbb{K}$ . Decimos que un subconjunto no vacío $\displaystyle S$ de $\displaystyle V$ es un subespacio vectorial de $\displaystyle V$ si $\displaystyle S$ con la suma y el producto de $\displaystyle V$ tiene de nuevo estructura de espacio vectorial.

Notacion: $\displaystyle S\leq V$ .

En particular, la suma de vectores de $\displaystyle S$ da vectores de $\displaystyle S$ y el producto por escalares de vectores de $\displaystyle S$ da vectores de $\displaystyle S$ :

$\displaystyle v,w\in S\Rightarrow v+w\in S$ ,
$\displaystyle v\in S,\alpha\in\mathbb{K}\Rightarrow\alpha v\in S$ .

Proposición 6.1.

Sea $\displaystyle V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\displaystyle\mathbb{K}$ . Las siguientes condiciones son equivalentes:

1.

$\displaystyle\varnothing\neq S\subset V$ es un subespacio vectorial de $\displaystyle V$ .
2.

$\displaystyle S\neq\varnothing$ y $\displaystyle\alpha v+\beta w\in S$ para todo $\displaystyle\alpha,\beta\in\mathbb{K},v,w\in S$
3.
Se cumplen las tres condiciones:
1. a)
  
  $\displaystyle 0_{V}\in S$
2. b)
  
  $\displaystyle v,w\in S\Rightarrow v+w\in S$
3. c)
  
  $\displaystyle v\in S,\alpha\in S\Rightarrow\alpha v\in S$

Demostración.

$\displaystyle 1)\Rightarrow 2)$: Directo por la definicion.
$\displaystyle 2)\Rightarrow 3)$: Como $\displaystyle S\neq\varnothing$ existe al menos un vector $\displaystyle v\in S$ . Tomando $\displaystyle\alpha=1,\beta=-1\in\mathbb{K}$ tenemos que

$\displaystyle 0_{V}=1v+(-1)v\in S$

Ademas, para todo $\displaystyle v,w\in S$ , tomando $\displaystyle\alpha=\beta=1\in\mathbb{K}$ , tenemos $\displaystyle v+w\in S$ , y tomando $\displaystyle\alpha\in\mathbb{K}$ y $\displaystyle\beta=0$ tenemos $\displaystyle\alpha v\in S$ .
$\displaystyle 3)\Rightarrow 1)$: La condicion 1 asegura que $\displaystyle S\neq\varnothing$ . Ademas, las condiciones 2 y 3 aseguran que se pueden definir la suma de vectores y el producto por escalares en $\displaystyle S$ :

$\displaystyle\begin{aligned} +\colon S\times S&\longrightarrow S\\ (v,w)&\longmapsto v+w\end{aligned}\qquad\begin{aligned} \cdot_{K}\colon K% \times S&\longrightarrow S\\ (\alpha,v)&\longmapsto\alpha v\end{aligned}$

Ademas los axiomas 1-5 se cumplen para vectores de $\displaystyle S$ porque se cumplen para vectores de $\displaystyle V$ y $\displaystyle S\subset V$ .

∎

Cuando queramos comprobar si un subconjunto es o no subespacio vectorial de $\displaystyle V$ , usaremos normalmente la caracterizacion 3) de la proposicion anterior.

Ejemplo.

Veamos varios ejemplos de subconjuntos que son o no subespacios de los espacios vectoriales dados:

1.

$\displaystyle W=\mathbb{C}$ e.v. sobre $\displaystyle\mathbb{R}$ .

$\displaystyle S=\mathbb{R}\leq W$ ya que $\displaystyle 0\in\mathbb{R}$ , $\displaystyle v+w\in\mathbb{R}\;\forall v,w\in\mathbb{R}$ y $\displaystyle\alpha\cdot v\in\mathbb{R}\;\forall v\in\mathbb{R},\forall a\in% \mathbb{R}$ .

$\displaystyle V=\mathbb{C}$ e.v. sobre $\displaystyle\mathbb{C}$ .

$\displaystyle S=\mathbb{R}$ no es un subespacio vectorial de V. Contraejemplo:

$\displaystyle v=1\in S,\alpha=i\in\mathbb{C}\Rightarrow\alpha\cdot v=i\notin S$
2.

$\displaystyle V=K^{3}$ e.v. sobre $\displaystyle\mathbb{K}$ .
- $\displaystyle S_{1}=\{(x,x,x)\mid x\in\mathbb{K}\}$ es un subespacio de V, demostrandolo con el mismo procedimiento.
- $\displaystyle S_{2}=\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{K}\}$ es un subespacio vectorial de $\displaystyle V$ .
- $\displaystyle S_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{K}^{3}\mid x+3y-2z=0\}$ es subespacio vectorial de $\displaystyle V$ .
  - •
    
    $\displaystyle(0,0,0)\in S^{3}$ porque $\displaystyle 0+3\cdot 0-2\cdot 0=0$ .
  - •
    
    Sean $\displaystyle(x_{1},y_{1},z_{1})\in S_{3}$ y $\displaystyle(x_{2},y_{2},z_{2})\in S_{3}$ . Sabemos que
    
    $\displaystyle\begin{rcases}x_{1}+3y_{1}-2z_{1}=0\\ x_{2}+3y_{2}-2z_{2}=0\end{rcases}\Rightarrow(x_{1}+x_{2})+3(y_{1}+y_{2})-2(z_{% 1}+z_{2})=0$
    
    Si $\displaystyle(x,y,z)\in S_{3}$ y $\displaystyle\alpha\in\mathbb{K}$ , $\displaystyle x+3y-2z=0\Rightarrow(\alpha x)+3(\alpha y)-2(\alpha z)=0$ . Es decir, $\displaystyle(\alpha x,\alpha y,\alpha z)\in S_{3}$ .
3.
Consideremos $\displaystyle V=\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{K})$ como espacio vectorial sobre $\displaystyle\mathbb{K}$ . Entonces
- $\displaystyle S_{1}=\{\begin{pmatrix}a&b\\ c&0\\ \end{pmatrix}\mid a=b+c\}=\{\begin{pmatrix}b+c&b\\ c&0\\ \end{pmatrix}\mid b,c\in\mathbb{K}\}$ es un subespacio vectorial de $\displaystyle V$ .
- $\displaystyle S_{3}=\{A\in V\mid A^{t}=A\}$ es un subespacio vectorial de $\displaystyle V$ .
  
  Si $\displaystyle A=A^{t}yB=B^{t}$ , $\displaystyle(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=A+B$ . Por otro lado, si $\displaystyle A=A^{t}$ y $\displaystyle\alpha\in\mathbb{K}$ , entonces $\displaystyle(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}=\alpha A$ .
  
  Esto tambien se cumple con el conjunto de matrices antisimétricas.
- $\displaystyle S_{5}=\{A\in V\mid A^{t}=A\text{ o }A^{t}=-A\}$ no es subespacio vectorial de $\displaystyle V$ .
  
  Contraejemplo: $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\ 2&1\\ \end{pmatrix}\in S_{6}$ , $\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\\ \end{pmatrix}\in S_{6}$ , pero $\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1&3\\ 1&1\\ \end{pmatrix}$

Proposición 6.2 (Interseccion y union de subespacios).

Dada una colección de subespacios $\displaystyle S_{i}$ , $\displaystyle i\in I$ , de un espacio vectorial $\displaystyle V$ , se puede comprobar que la intersección

\displaystyle\bigcap_{i\in I}S_{i}\text{ siempre es un subespacio vectorial. }

Sin embargo, la unión de subespacios vectoriales, en general, no es subespacio.

Por ejemplo, si consideramos $\displaystyle V=\mathbb{R}^{2}$ y los subespacios $\displaystyle S_{1}=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}$ y $\displaystyle S_{2}=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}$ , la union

\displaystyle S_{1}\cup S_{2}=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\cup\{(0,y)\mid y\in% \mathbb{R}\}

no es subespacio vectorial:

\displaystyle\begin{rcases}(1,0)\in S_{1}\cup S_{2}\\ (0,1)\in S_{1}\cup S_{2}\end{rcases}\text{ pero }(1,0)+(0,1)=(1,1)\not\in S_{1% }\cup S_{2}

El menor subespacio que contiene a dos subespacios dados es la suma de subespacios.

Definición 6.2.

Sea $\displaystyle V$ un espacio vectorial sobre $\displaystyle\mathbb{K}$ y sean $\displaystyle S_{1},S_{2}$ dos subespacios de $\displaystyle V$ . Definimos la suma de los subespacios $\displaystyle S_{1}$ y $\displaystyle S_{2}$ y lo denotamos como $\displaystyle S_{1}+S_{2}$ del siguiente modo:

\displaystyle S_{1}+S_{2}=\{v_{1}+v_{2}\mid v_{1}\in S_{1},v_{2}\in S_{2}\}

Proposición 6.3.

$\displaystyle S_{1}+S_{2}$ es subespacio vectorial de $\displaystyle V$ .

Demostración.

1.

Como $\displaystyle 0_{V}\in S_{1}$ y $\displaystyle 0_{V}\in S_{2}$ , entones $\displaystyle 0_{V}=0_{V}+0_{V}\in S_{1}+S_{2}$
2.

Si $\displaystyle v_{1}+v_{2}\in S_{1}+S_{2}$ y $\displaystyle w_{1}+w_{2}\in S_{1}+S_{2}$ , donde $\displaystyle v_{1},w_{1}\in S_{1}$ y $\displaystyle v_{2},w_{2}\in S_{2}$ , entonces

$\displaystyle v_{1}+v_{2}+w_{1}+w_{2}=\underbrace{(v_{1}+w_{1})}_{\in S_{1}}+% \underbrace{(v_{2}+w_{2})}_{\in S_{2}}\in S_{1}+S_{2}$
3.

Si $\displaystyle v_{1}+v_{2}\in S_{1}+S_{2}$ , donde $\displaystyle v_{1}\in S_{1}$ y $\displaystyle v_{2}\in S_{2}$ , y $\displaystyle\alpha\in\mathbb{K}$ entonces

$\displaystyle\alpha(v_{1}+v_{2})=\underbrace{\alpha v_{1}}_{\in S_{1}}+% \underbrace{\alpha v_{2}}_{\in S_{2}}\in S_{1}+S_{2}$

∎

Más en general, se puede considerar la suma de $\displaystyle n$ subespacios vectoriales, con $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ .

Definición 6.3 (Suma directa).

Decimos que dos subespacios $\displaystyle S$ y $\displaystyle T$ suman de forma directa o que la suma de $\displaystyle S$ y $\displaystyle T$ es suma directa si $\displaystyle S\cap T=\{0\}$ y se escribe $\displaystyle S\oplus T$ .

Si ademas $\displaystyle S\oplus T=V$ decimos que $\displaystyle S$ y $\displaystyle T$ son suplementarios.