5 Definición de espacio vectorial

Definición 5.1 (Espacio vectorial sobre un cuerpo K\displaystyle K).

Decimos que V\displaystyle V es un espacio vectorial sobre el cuerpo 𝕂\displaystyle\mathbb{K} si V\displaystyle V es un conjunto dotado de dos operaciones

+:V×V⟶V(v,w)⟼v+w⋅K:K×V⟶V(α,v)⟼α⋅Kv\displaystyle\begin{aligned} +\colon V\times V&\longrightarrow V\\ (v,w)&\longmapsto v+w\end{aligned}\qquad\begin{aligned} \cdot_{K}\colon K% \times V&\longrightarrow V\\ (\alpha,v)&\longmapsto\alpha\cdot_{K}v\end{aligned}

y se cumplen las siguientes propiedades:

  1. 1.
    ​

    (V,+)\displaystyle(V,+) es un grupo abeliano.

  2. 2.
    ​

    α⁢(v1+v2)=α⁢v1+α⁢v2\displaystyle\alpha(v_{1}+v_{2})=\alpha v_{1}+\alpha v_{2} para todo α∈𝕂,v1,v2∈V\displaystyle\alpha\in\mathbb{K},v_{1},v_{2}\in V

  3. 3.
    ​

    (α+β)⁢v=α⁢v+β⁢v\displaystyle(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v para todo α,β∈𝕂,v∈V\displaystyle\alpha,\beta\in\mathbb{K},v\in V

  4. 4.
    ​

    (α⁢β)⁢v=α⁢(β⁢v)\displaystyle(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v) para todo α,β∈𝕂,v∈V\displaystyle\alpha,\beta\in\mathbb{K},v\in V

  5. 5.
    ​

    1K⁢v=v\displaystyle 1_{K}v=v para todo v∈V\displaystyle v\in V

Los elementos de V\displaystyle V se llaman vectores y los elementos de K\displaystyle K se llaman escalares.

Ejemplo.

Veamos varios ejemplos de espacios vectoriales:

  1. 1.
    ​

    Sea 𝕂\displaystyle\mathbb{K} un cuerpo. 𝕂\displaystyle\mathbb{K} es un espacio vectorial sobre 𝕂\displaystyle\mathbb{K} con la suma y el producto por escalares de 𝕂\displaystyle\mathbb{K}.

  2. 2.
    ​

    Si V\displaystyle V es un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂\displaystyle\mathbb{K} y K^\displaystyle\hat{K} es subcuerpo de 𝕂\displaystyle\mathbb{K} entonces V\displaystyle V también es un espacio vectorial sobre K^\displaystyle\hat{K}. Por ejemplo, como ℚ\displaystyle\mathbb{Q} es subcuerpo de ℝ\displaystyle\mathbb{R} y ℝ\displaystyle\mathbb{R} es subcuerpo de ℂ\displaystyle\mathbb{C}, ℂ\displaystyle\mathbb{C} es un espacio vectorial sobre ℂ\displaystyle\mathbb{C} ℂ\displaystyle\mathbb{C} es un espacio vectorial sobre ℝ\displaystyle\mathbb{R} y ℂ\displaystyle\mathbb{C} es un espacio vectorial sobre ℚ\displaystyle\mathbb{Q}. Además, estos tres espacios vectoriales son diferentes entre sí.

  3. 3.
    ​

    Si V\displaystyle V y W\displaystyle W son dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝕂\displaystyle\mathbb{K}, entonces el producto cartesiano

    V×W={(v,w)∣v∈V,w∈W}\displaystyle V\times W=\{(v,w)\mid v\in V,w\in W\}

    es un espacio vectorial sobre K\displaystyle K con las operaciones (v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)\displaystyle(v_{1},w_{1})+(v_{2},w_{2})=(v_{1}+v_{2},w_{1}+w_{2}) y α⁢(v,w)=(α⁢v,α⁢w)\displaystyle\alpha(v,w)=(\alpha v,\alpha w) para todo v,v1,v2∈V\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V, w,w1,w2∈W\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W, α∈𝕂\displaystyle\alpha\in\mathbb{K}. En particular, para n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N}

    𝕂n={(x1,…,xn)∣x1,…,xn∈𝕂}\displaystyle\mathbb{K}^{n}=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\mid x_{1},\ldots,x_{n}\in% \mathbb{K}\}

    es un espacio vectorial sobre 𝕂\displaystyle\mathbb{K}. Por ejemplo, tenemos los siguientes espacios vectoriales: ℝ2,ℚ2,ℝ7,ℂ3,\displaystyle\mathbb{R}^{2},\mathbb{Q}^{2},\mathbb{R}^{7},\mathbb{C}^{3}, etc.

  4. 4.
    ​

    El conjunto de las matrices 𝔐m×n⁢(𝕂)\displaystyle\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K}) con la suma de matrices y el producto por escalares tiene estructura de espacio vectorial sobre 𝕂\displaystyle\mathbb{K}.

  5. 5.
    ​

    Si denotamos por 𝕂⁢[x]\displaystyle\mathbb{K}[x] al conjunto de todos los polinomios en la variable x\displaystyle x con coeficientes en 𝕂\displaystyle\mathbb{K}, 𝕂⁢[x]\displaystyle\mathbb{K}[x] es un espacio vectorial sobre 𝕂\displaystyle\mathbb{K} con la suma y el producto por escalares habituales.

  6. 6.
    ​

    Si denotamos por 𝕂n⁢[x]\displaystyle\mathbb{K}_{n}[x] al conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n\displaystyle n en la variable x\displaystyle x y con coeficientes en 𝕂\displaystyle\mathbb{K}, 𝕂n⁢[x]\displaystyle\mathbb{K}_{n}[x] es un espacio vectorial sobre 𝕂\displaystyle\mathbb{K}.

  7. 7.
    ​

    Si 𝕂\displaystyle\mathbb{K} es un cuerpo, las sucesiones de números de 𝕂\displaystyle\mathbb{K} con la suma por componentes y el producto por escalares componente a componente forman un espacio vectorial sobre 𝕂\displaystyle\mathbb{K}.

Lema 5.1.

Sea V\displaystyle V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂\displaystyle\mathbb{K}.

  1. 1.
    ​

    α⁢0V=0V\displaystyle\alpha 0_{V}=0_{V} para todo α∈𝕂\displaystyle\alpha\in\mathbb{K}

  2. 2.
    ​

    0K⁢v=0V\displaystyle 0_{K}v=0_{V} para todo v∈V\displaystyle v\in V

  3. 3.
    ​

    Si α⁢v=0V\displaystyle\alpha v=0_{V} entonces α=0K\displaystyle\alpha=0_{K} o v=0V\displaystyle v=0_{V}

  4. 4.
    ​

    (−1)⁢v=−(α⁢v)=−v\displaystyle(-1)v=-(\alpha v)=-v para todo v∈V\displaystyle v\in V

Demostración.
  1. 1.
    α⁢0V=α⁢(0V+0V)=A2)α⁢0V+α⁢0V\displaystyle\alpha 0_{V}=\alpha(0_{V}+0_{V})=_{A2)}\alpha 0_{V}+\alpha 0_{V}
    ​

    así que sumando el opuesto de α⁢0V\displaystyle\alpha 0_{V} en ambos lados de la igualdad llegamos a que 0V=0V+α⁢0V=α⁢0V\displaystyle 0_{V}=0_{V}+\alpha 0_{V}=\alpha 0_{V}.

  2. 2.
    0K⁢v=(0K+0K)⁢v=A3)0K⁢v+0K⁢v\displaystyle 0_{K}v=(0_{K}+0_{K})v=_{A3)}0_{K}v+0_{K}v
    ​

    asi que sumando el opuesto de 0K⁢v\displaystyle 0_{K}v en ambos lados de la igualdad llegamos a que 0V=0V+0K⁢v=0K⁢v\displaystyle 0_{V}=0_{V}+0_{K}v=0_{K}v.

  3. 3.
    ​

    Supongamos que α⁢v=0V\displaystyle\alpha v=0_{V} y que α≠0K\displaystyle\alpha\neq 0_{K}. Como 𝕂\displaystyle\mathbb{K} es un cuerpo y α≠0\displaystyle\alpha\neq 0,

    v=A5)1K⁢v=(1α⁢α)⁢v=A3)1α⁢(α⁢v)=1α⁢0V=1)0V\displaystyle v=_{A5)}1_{K}v=(\frac{1}{\alpha}\alpha)v=_{A3)}\frac{1}{\alpha}(% \alpha v)=\frac{1}{\alpha}0_{V}=_{1)}0_{V}
  4. 4.
    ​

    Veamos que (−1)⁢v\displaystyle(-1)v es el vector opuesto de v\displaystyle v:

    v+(−1)⁢v=A5)1⁢v+(−1)⁢v=A3)(1−1)⁢v=0K⁢v=2)0V\displaystyle v+(-1)v=_{A5)}1v+(-1)v=_{A3)}(1-1)v=0_{K}v=_{2)}0_{V}

    así que (−1)⁢v=−v\displaystyle(-1)v=-v.

∎