20 Fórmulas de las derivadas

Todas las formulas que nos han enseñado en bachillerato son demostradas utilizando la definición de límite. Por ejemplo,

f⁢(x)=x⇒f′⁢(x)=12⁢x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Demostración.

Si x0>0\displaystyle x_{0}>0,

l⁢ı´⁢mh→0f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h\displaystyle\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h% \to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} =l⁢ı´⁢mh→0x0+h−x0h=l⁢ı´⁢mh→0x0+h−x0h⁢(x0+h+x0)\displaystyle\displaystyle=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{% h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}
=l⁢ı´⁢mh→01x0+h+x0=12⁢x0\displaystyle\displaystyle=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{% h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}

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Y en x0=0\displaystyle x_{0}=0? f′⁢(0)\displaystyle f^{\prime}(0) no tiene sentido porque f\displaystyle f no esta definida en un entorno de 0\displaystyle 0. Y habrá fórmula para la derivada por la derecha en x0=0\displaystyle x_{0}=0?

l⁢ı´⁢mh→0+f⁢(0+h)−f⁢(0)h=l⁢ı´⁢mh→0+hh=l⁢ı´⁢mh→0+1h=∞⇒ No es derivable por la derecha en ⁢0.\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{+}}% \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0% ^{+}}\frac{\sqrt{h}}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h% \to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{h}}=\infty\Rightarrow\text{ No es derivable por la % derecha en }0.

Cuándo puedo utilizar las fórmulas de las derivadas en x0\displaystyle x_{0}?

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    x0∈D⁢o⁢m⁢f\displaystyle x_{0}\in Domf. f⁢(x)=ln⁡x⇒f′⁢(x)=1x\displaystyle f(x)=\ln x\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} solamente es valida en (0,∞)\displaystyle(0,\infty).

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    La fórmula tiene que tener sentido.

    f⁢(x)=a⁢r⁢c⁢s⁢e⁢n⁢(x)⇒f′⁢(x)=11−x2⁢ solamente es valida en ⁢(−1,1).\displaystyle f(x)=arcsen(x)\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}% \text{ solamente es valida en }(-1,1).
    f⁢(x)=x3⇒f′⁢(x)=13⁢x23⁢ solamente es valida en ⁢ℝ∖{0}\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{% 2}}}\text{ solamente es valida en }\mathbb{R}\setminus\{0\}
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    f⁢(x)\displaystyle f(x) tiene que tener la misma expresión en un entorno de x0\displaystyle x_{0}.

    f⁢(x)={x2⁢ si ⁢x≤2x⁢ si ⁢x>2⇒f′⁢(x)={2⁢x⁢ si ⁢x<2?⁢ si ⁢x=21⁢ si ⁢x<2\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^{2}\text{ si }x\leq 2\\ x\text{ si }x>2\end{cases}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x\text{ si }% x<2\\ ?\text{ si }x=2\\ 1\text{ si }x<2\end{cases}

    Sin embargo, para calcular f′⁢(2)\displaystyle f^{\prime}(2) habría que calcularlo de otra forma.

    f′⁢(2)=l⁢ı´⁢mh→0f⁢(2+h)−f⁢(2)h=l⁢ı´⁢mh→0f⁢(2+h)−4h\displaystyle f^{\prime}(2)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_% {h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{h\to 0}\frac{f(2+h)-4}{h}

    . Calculamos los límites laterales:

    {l⁢ı´⁢mh→0−(2+h)2−4h=l⁢ı´⁢mh→0−4+h2−4⁢h−4h=l⁢ı´⁢mh→0−4+h2+4⁢h−4h=l⁢ı´⁢mh→0−h+4=4l⁢ı´⁢mh→0+2+h−4h=l⁢ı´⁢mh→0+h−2h=−20+=−∞\displaystyle\begin{dcases}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{% h\to 0^{-}}\frac{(2+h)^{2}-4}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{h\to 0^{-}}\frac{4+h^{2}-4h-4}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{h\to 0^{-}}\frac{4+h^{2}+4h-4}{h}=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{-}}h+4=4\\ \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{+}}\frac{2+h-4}{h}=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{+}}\frac{h-2}{h}=% \frac{-2}{0^{+}}=-\infty\end{dcases}

    Como no coinciden, la funcion no es derivable en 2\displaystyle 2.