19 ¿Qué es la derivada?

Definición 19.1 (Derivada).

Se define la derivada de f\displaystyle f en el punto x0∈I⊂D⁢o⁢m⁢f\displaystyle x_{0}\in I\subset Domf como:

f′⁢(x0)=l⁢ı´⁢mh→0f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h=l⁢ı´⁢mx→x0f⁢(x)−f⁢(x0)x−x0\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}

Decimos que f\displaystyle f es derivable en x0\displaystyle x_{0} si su derivada existe y es finita.

Notacion: f′⁢(x0)=d⁢fd⁢x⁢(x0)=d⁢f⁢(x)d⁢x|x=x0=d⁢fd⁢x|x=x0\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\frac{df}{dx}(x_{0})=\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0% }}=\frac{df}{dx}|_{x=x_{0}}.

Definición 19.2.

Decimos que f\displaystyle f es derivable en un intervalo (a,b)\displaystyle(a,b) si es derivable en cada punto del intervalo.

Supongamos que f\displaystyle f es derivable en x0\displaystyle x_{0} y construyamos la recta tangente de f\displaystyle f en x0\displaystyle x_{0}.

Sabemos que cualquier recta es de la forma: y=m⁢(x−x0)+b\displaystyle y=m(x-x_{0})+b donde m,b∈ℝ\displaystyle m,b\in\mathbb{R} estan sin determinar. Además, cualquier recta que pase por (x0,f⁢(x0))\displaystyle(x_{0},f(x_{0})) cumple f⁢(x0)=m⁢(x0−x0)+b→b=f⁢(x0)\displaystyle f(x_{0})=m(x_{0}-x_{0})+b\rightarrow b=f(x_{0}).

Ahora, la recta que pasa también por (x0+h,f⁢(x0+h))\displaystyle(x_{0}+h,f(x_{0}+h)) tiene pendiente: y=mh⁢(x−x0)+f⁢(x0)⇒f⁢(x0+h)=mh⁢(x0+h−x0)+f⁢(x0)⇒mh=f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h\displaystyle y=m_{h}(x-x_{0})+f(x_{0})\Rightarrow f(x_{0}+h)=m_{h}(x_{0}+h-x_% {0})+f(x_{0})\Rightarrow m_{h}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}. Por tanto, cuando h→0\displaystyle h\to 0,

y=f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h⁢(x−x0)+f⁢(x0)⇒y=f′⁢(x0)⁢(x−x0)+f⁢(x0)\displaystyle y=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}(x-x_{0})+f(x_{0})\Rightarrow% \boxed{y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}
Definición 19.3 (Derivadas laterales).

Podemos hablar de derivadas laterales de f\displaystyle f en x0\displaystyle x_{0} calculando los límites laterales:

f+′⁢(x0)=l⁢ı´⁢mh→0+f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h⁢ y ⁢f−′⁢(x0)=l⁢ı´⁢mh→0−f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h\displaystyle f^{\prime}_{+}(x_{0})=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\text{ y }f^{\prime}_{-}(x_{0% })=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_{0}% +h)-f(x_{0})}{h}

E igualmente, decimos que es derivable por la derecha o por la izquierda si el límite correspondiente es finito y existe. Ademas, f\displaystyle f es derivable en un intervalo [a,b]\displaystyle[a,b] si es derivable en (a,b)\displaystyle(a,b), derivable por la derecha de a\displaystyle a y derivable por la izquierda de b\displaystyle b, del mismo modo para el resto de intervalos.