18 Teoremas sobre funciones continuas

Supongamos que $\displaystyle f(a)>0$ y $\displaystyle f(b)<0$. Consideramos $\displaystyle\gamma=\frac{a+b}{2}$. Hay tres casos:

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  $\displaystyle f(\gamma)=0$. Entonces $\displaystyle c=\gamma$ y queda demostrado.

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  $\displaystyle f(\gamma)<0$. Defino $\displaystyle a_{1}=a$ y $\displaystyle b_{1}=\gamma$. Entonces $\displaystyle f(a_{1})>0$ y $\displaystyle f(b_{1})<0$ y se puede repetir el proceso. Definimos $\displaystyle\gamma=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$. Puede ocurrir que $\displaystyle f(\gamma)=0,f(\gamma)>0$ o $\displaystyle f(\gamma)<0$. Si $\displaystyle f(\gamma)=0,c=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$. Si $\displaystyle f(\gamma)>0$, definimos $\displaystyle a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ y $\displaystyle b_{2}=b_{1}$. Si $\displaystyle f(\gamma)<0$, defino $\displaystyle a_{2}=a_{1}$ y $\displaystyle b_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$. Si sigo repitiendo el proceso, obtengo que dado $\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],f(a_{n})>0$, $\displaystyle f(b_{n})<0$, $\displaystyle I_{n+1}\subset I_{n}$. Por el teorema de los intervalos anidados (4.2), si $\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ cumple que $\displaystyle I_{n}\supset I_{n+1}\;\forall n\in\mathbb{N}$, entonces $\displaystyle\exists c\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle c\in I_{n}\;\forall n\in\mathbb{N}$. Falta demostrar que $\displaystyle c$ es el punto tal que $\displaystyle f(c)=0$. Sabemos que $\displaystyle b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2},b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{4}=\frac{b-a}{2^{2}}$. En general, $\displaystyle b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}$. Como $\displaystyle c\in I_{n}\;\forall n\in\mathbb{N}$,

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    $\displaystyle a_{n}\leq c\leq b_{n}\Rightarrow a_{n}-a_{n}\leq c-a_{n}\leq b_{n}-a_{n}\Rightarrow 0(\rightarrow 0)\leq c-a_{n}\leq b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}(\rightarrow 0)$. Luego, por el teorema del sandwich, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-a_{n}=0$. Por tanto, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}a_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-c+a_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-a_{n}=c-0=c$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}a_{n}=c$.

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    Siguiendo el mismo razonamiento, también se tiene que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}b_{n}=c$.

  Como $\displaystyle f$ es continua en $\displaystyle[a,b]\subset A$, si $\displaystyle a_{n}\rightarrow c$ entonces $\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(c)$ y si $\displaystyle b_{n}\rightarrow c$ entonces $\displaystyle f(b_{n})\rightarrow f(c)$. Además, $\displaystyle f(a_{n})\geq 0\;\forall n$ y $\displaystyle f(b_{n})\leq 0\;\forall n$. Por tanto, la única opción es que $\displaystyle f(c)=0$.

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  $\displaystyle f(\gamma)>0$. Llamamos $\displaystyle a_{1}=\frac{a+b}{2}$ y $\displaystyle b_{1}=b\Rightarrow f(a_{1})>0$ y $\displaystyle f(b_{1})<0$. El proceso es análogo al de cuando $\displaystyle f(\lambda)<0$.

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Sea $\displaystyle W$ una vecindad de $\displaystyle g(b)$. Puesto que $\displaystyle g$ es continua en $\displaystyle b$, existe una vecindad $\displaystyle V$ de $\displaystyle b=f(c)$ tal que si $\displaystyle y\in B\cap V$ entonces $\displaystyle g(y)\in W$. Puesto que $\displaystyle f$ es continua en $\displaystyle c$, existe una vecindad $\displaystyle U$ de $\displaystyle c$ tal que si $\displaystyle x\in A\cap U$, entonces $\displaystyle f(x)\in V$. Puesto que $\displaystyle f(A)\subseteq B$, se sigue que si $\displaystyle x\in A\cap U$, entonces $\displaystyle f(x)\in B\cap V$, de modo que $\displaystyle(g\circ f)(x)=g(f(x))\in W$. Pero como $\displaystyle W$ es una vecindad cualquiera de $\displaystyle g(b)$, esto indica que $\displaystyle g\circ f$ es continua en $\displaystyle c$. ∎

No vista en clase. ∎

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