15 Dominio e imagen

Definición 15.1 (Función).

Una función (de variable real) es una regla cualquiera que hace corresponder un número real y solamente uno a cada número de un cierto conjunto A⊂ℝ\displaystyle A\subset\mathbb{R}:

f:A\displaystyle f\colon A ⟶ℝ\displaystyle\longrightarrow\mathbb{R}
x\displaystyle x ⟼f⁢(x)\displaystyle\longmapsto f(x)
Definición 15.2.

Al conjunto A\displaystyle A le llamaremos dominio de f\displaystyle f, denotado por A=D⁢o⁢m⁢f\displaystyle A=Domf, y es el conjunto para los que f⁢(x)\displaystyle f(x) tiene sentido. También, llamaremos imagen de f\displaystyle f, denotado por I⁢m⁢f\displaystyle Imf, al conjunto de números reales y\displaystyle y para los que existe x∈D⁢o⁢m⁢f\displaystyle x\in Domf tal que

y=f⁢(x)\displaystyle y=f(x)
Ejemplo.
Ejemplo.

h⁢(x)=11−x2\displaystyle h(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} Dado x∈D⁢o⁢m⁢h\displaystyle x\in Domh, se tiene que 1−x2≥0,1−x2≠0⇒1−x2>0\displaystyle 1-x^{2}\geq 0,\sqrt{1-x^{2}}\neq 0\Rightarrow 1-x^{2}>0. Por tanto, D⁢o⁢m⁢h={x∈ℝ∣1−x2>0}\displaystyle Domh=\{x\in\mathbb{R}\mid 1-x^{2}>0\} Resolviendo la ecuación, obtenemos como raíces x=±1\displaystyle x=\pm 1. Dividiendo por tramos:

Por lo tanto, D⁢o⁢m⁢h=(−1,1)\displaystyle Domh=(-1,1) ya que es el tramo que cumple que 1−x2>0\displaystyle 1-x^{2}>0. Para calcular la imagen de h\displaystyle h, sabemos que y∈I⁢m⁢h\displaystyle y\in Imh si ∃x∈(−1,1)∣h⁢(x)=y\displaystyle\exists x\in(-1,1)\mid h(x)=y.

  •  
    ​

    Para y≤0\displaystyle y\leq 0: ∃x∈(−1,1)∣h⁢(x)=y⇔0<11−x2=y≤0\displaystyle\exists x\in(-1,1)\mid h(x)=y\Leftrightarrow 0<\frac{1}{\sqrt{1-x% ^{2}}}=y\leq 0. No es posible.

  •  
    ​

    Para y>0\displaystyle y>0: si y∈I⁢m⁢h,∃x∈(−1,1)\displaystyle y\in Imh,\exists x\in(-1,1) tal que h⁢(x)=y⇒11−x2=y⇒1=y⁢(1−x2)⇒1=y2⋅(1−x2)⇒1y2=1−x2⇒x2=1−1y2⇒x=±1−1y2\displaystyle h(x)=y\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=y\Rightarrow 1=y(\sqrt% {1-x^{2}})\Rightarrow 1=y^{2}\cdot(1-x^{2})\Rightarrow\frac{1}{y^{2}}=1-x^{2}% \Rightarrow x^{2}=1-\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}. Supongamos y∈I⁢m⁢h⇒x∈(−1,1)∣h⁢(x)=y⇒11−x2=y⇒x=±1−1y2∈ℝ⁢?⁢ 1−1y2≥0⇔1≥1y2⇔y2≥1\displaystyle y\in Imh\Rightarrow x\in(-1,1)\mid h(x)=y\Rightarrow\frac{1}{% \sqrt{1-x^{2}}}=y\Rightarrow x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}{\color[rgb]{1,0,0}% \in\mathbb{R}?}\;1-\frac{1}{y^{2}}\geq 0\Leftrightarrow 1\geq\frac{1}{y^{2}}% \Leftrightarrow y^{2}\geq 1. Luego I⁢m⁢h=[1,∞)\displaystyle Imh=[1,\infty). Cómo comprobamos si y∈I⁢m⁢h\displaystyle y\in Imh? h⁢(1−1y2)=11−(1−1y2)2=11−1+1y2=11y2=y2=|y|=y\displaystyle h(\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}})=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-\frac{1}{y% ^{2}}})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-1+\frac{1}{y^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{y^{% 2}}}}=\sqrt{y^{2}}=|y|=y. Además, 1−1y2∈(0,1)\displaystyle\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\in(0,1).

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      ​

      1−1y2≥0\displaystyle\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\geq 0.

    • •
      ​

      1−1y2<1\displaystyle\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}<1. 0<1y2⇒1<1y2+1⇒1−1y2<1y2+1−1y2⇒1−1y2<1⇒1−1y2<1=1\displaystyle 0<\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow 1<\frac{1}{y^{2}}+1\Rightarrow 1-% \frac{1}{y^{2}}<\frac{1}{y^{2}}+1-\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow 1-\frac{1}{y^{2}}% <1\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}<\sqrt{1}=1

Proposición 15.1.

Sea f:A→ℝ\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R} una funcion y un conjunto B⊂A\displaystyle B\subset A. Diremos que:

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    f\displaystyle f es creciente en B\displaystyle B si para todo x1,x2∈B\displaystyle x_{1},x_{2}\in B, x1<x2\displaystyle x_{1}<x_{2}, f⁢(x1)≤f⁢(x2)\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2}).

  •  
    ​

    f\displaystyle f es decreciente en B\displaystyle B si para todo x1,x2∈B,\displaystyle x_{1},x_{2}\in B, x1,x2∈B\displaystyle x_{1},x_{2}\in B, x1<x2\displaystyle x_{1}<x_{2}, f⁢(x1)≥f⁢(x2)\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2}).

Diremos que es estricto cuando aparezca la desigualdad estricta.

Proposición 15.2.

Sea f:A→ℝ\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R} tal que si x∈A\displaystyle x\in A, −x∈A\displaystyle-x\in A. Diremos que:

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    f\displaystyle f es par si f⁢(−x)=f⁢(x)\displaystyle f(-x)=f(x) para todo x∈A\displaystyle x\in A

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    f\displaystyle f es impar si f⁢(−x)=−f⁢(x)\displaystyle f(-x)=-f(x) para todo x∈A\displaystyle x\in A.

Definición 15.3.

Sea f:A→ℝ\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}. Diremos que:

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    f\displaystyle f es acotada superiormente si ∃K∈ℝ\displaystyle\exists K\in\mathbb{R} tal que f⁢(x)≤K⁢∀x∈A\displaystyle f(x)\leq K\;\forall x\in A

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    f\displaystyle f es acotada inferiormente si ∃K∈ℝ\displaystyle\exists K\in\mathbb{R} tal que f⁢(x)≥K⁢∀x∈A\displaystyle f(x)\geq K\;\forall x\in A

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    f\displaystyle f es acotada si ∃K∈ℝ\displaystyle\exists K\in\mathbb{R} tal que |f⁢(x)|≤K⁢∀x∈A\displaystyle|f(x)|\leq K\;\forall x\in A, o equivalentemente ∃K1,K2∈ℝ\displaystyle\exists K_{1},K_{2}\in\mathbb{R} tal que K2≤f⁢(x)≤K1\displaystyle K_{2}\leq f(x)\leq K_{1} (acotada inferior y superiormente).

Definición 15.4 (Composición).

Sea f:A→ℝ\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R} y g:B→R\displaystyle g:B\to R tal que f⁢(a)⊂B\displaystyle f(a)\subset B. Se define la función composición como

g∘f:A\displaystyle g\circ f\colon A ⟶ℝ\displaystyle\longrightarrow\mathbb{R}
x\displaystyle x ⟼(g∘f)⁢(x)=g⁢(f⁢(x))\displaystyle\longmapsto(g\circ f)(x)=g(f(x))
Definición 15.5 (Inversa).

Sea f:A→B\displaystyle f\colon A\to B. Decimos que g\displaystyle g y f\displaystyle f, con g:B→A\displaystyle g\colon B\to A, son funciones inversas si:

(g∘f)⁢(x)=x∀x∈A⁢ y ⁢(f∘g)⁢(x)=x∀x∈B(g=f−1)\displaystyle(g\circ f)(x)=x\quad\forall x\in A\text{ y }(f\circ g)(x)=x\quad% \forall x\in B\quad(g=f^{-1})