17 Continuidad

Definición 17.1.

Diremos que una función f\displaystyle f es continua en x0∈D⁢o⁢m⁢f\displaystyle x_{0}\in Domf, con x0\displaystyle x_{0} un punto de acumulación, si y sólo si l⁢ı´⁢mx→x0f⁢(x)=f⁢(x0)\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}f(x% )=f(x_{0}). Diremos que f\displaystyle f es continua en un intervalo (a,b)\displaystyle(a,b) si es continua en todos los puntos. De igual forma, diremos que f\displaystyle f es continua en [a,b]\displaystyle[a,b] si es continua en (a,b)\displaystyle(a,b) y continua por la derecha de a\displaystyle a y por la izquierda de b\displaystyle b.

Ejemplo.

Funciones continuas en su dominio son: polinomios, sin⁡x\displaystyle\sin x, cos⁡x\displaystyle\cos x, x\displaystyle\sqrt{x}, ex\displaystyle e^{x}, ln⁡x,…\displaystyle\ln x,\ldots

Además, sumar o multiplicar dos funciones continuas, dividir dos funciones continuas con denominador distinto de cero, composicion de funciones continuas, es una función continua.

Definición 17.2 (General de continuidad).

Sea A⊂ℝ\displaystyle A\subset\mathbb{R}, f:A→ℝ\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R} y x0∈A\displaystyle x_{0}\in A, se dice que f\displaystyle f es continua en x0\displaystyle x_{0} si ∀ε>0\displaystyle\forall\varepsilon>0 ∃δ>0\displaystyle\exists\delta>0 tal que ∀x∈(x0−δ,x0+δ)∩A\displaystyle\forall x\in(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\cap A se cumple que

|f⁢(x)−f⁢(x0)|<ε.\displaystyle\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon.
Teorema 17.1.

Sea A⊆ℝ\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}, α0∈A\displaystyle\alpha_{0}\in A. Entonces

f⁢ es continua en ⁢x0⇔(∀{xn}⊂A,xn⟶x0⇒f⁢(xn)→f⁢(x0))\displaystyle f\text{ es continua en }x_{0}\Leftrightarrow(\forall\{x_{n}\}% \subset A,x_{n}\longrightarrow x_{0}\Rightarrow f(x_{n})\rightarrow f(x_{0}))