16 Límites

Definición 16.1 (Límite).

Diremos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=l$ si para todo $\displaystyle\varepsilon>0$ existe $\displaystyle\delta>0$ tal que

\displaystyle l-\varepsilon<f(x)<l+\varepsilon\text{ cuando }a-\delta<x<a+% \delta,\quad x\neq a\;\;(x\text{ es pto. de acumulacion}),

o también, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=l$ si $\displaystyle\forall\varepsilon>0$ existe un $\displaystyle\delta>0$ tal que $\displaystyle|f(x)-l|<\varepsilon$ para todo $\displaystyle x\in(a-\delta,a+\delta),x\neq a$ .

Ejemplo.

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 1}2x=2$ . Cojo un $\displaystyle\varepsilon>0$ . Tengo que ver que $\displaystyle\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle|2x-2|<\varepsilon\;\forall x\in(1-\delta,1+\delta),x\neq 1\Rightarrow$ $\displaystyle-\varepsilon<2x-2<\varepsilon\Rightarrow 2-\varepsilon<2x<2+\varepsilon$ . Luego sabemos que $\displaystyle 2(1-\delta)=2-\varepsilon\Rightarrow 1-\delta=\frac{2-% \varepsilon}{2}\Rightarrow\delta=1-\frac{2-\varepsilon}{2}=1-1+\frac{% \varepsilon}{2}=\frac{\varepsilon}{2}$ . Tenemos que dado $\displaystyle\varepsilon>0$ , $\displaystyle\exists\delta=\frac{\varepsilon}{2}$ , $\displaystyle 1-\frac{\varepsilon}{2}<x<1+\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow 2-% \varepsilon<2x<2+\varepsilon$ . Hemos encontrado un $\displaystyle\delta$ que cumple lo anterior. Luego $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}2x=2$ .

Definición 16.2 (Límites laterales).

Sea $\displaystyle f(x)$ una función definida en $\displaystyle\mathbb{R}$ .

Diremos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha^{+}% }f(x)=l$ es un límite lateral por la derecha si $\displaystyle\forall\varepsilon>0$ $\displaystyle\;\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle\left|f(x)-l\right|<\varepsilon$ cuando $\displaystyle\alpha<x<\alpha+\varepsilon$ .
Diremos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha^{-}% }f(x)=l$ es un límite lateral por la izquierda si $\displaystyle\forall\varepsilon>0$ $\displaystyle\;\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle\left|f(x)-l\right|<\varepsilon$ cuando $\displaystyle\alpha-\varepsilon<x<\alpha$ .

Definición 16.3 (Límites infinitos).

Sea $\displaystyle f(x)$ una función definida en $\displaystyle\mathbb{R}$ .

Diremos que $\displaystyle f(x)$ tiende a infinito en un punto $\displaystyle\alpha$ , $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}=+\infty$ , si $\displaystyle\forall M\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\;\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle f(x)>M$ cuando $\displaystyle 0<\left|x-\alpha\right|<\delta$ .
Diremos que $\displaystyle f(x)$ tiende a menos infinito en un punto $\displaystyle\alpha$ , $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}=-\infty$ , si $\displaystyle\forall m\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\;\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle f(x)<m$ cuando $\displaystyle 0<\left|x-\alpha\right|<\delta$ .

Definición 16.4 (Límites infinitos laterales).

Sea $\displaystyle f(x)$ una función definida en $\displaystyle\mathbb{R}$ .

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha^{+}% }f(x)=+\infty$ si $\displaystyle\forall M\in\mathbb{R}\;\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle f(x)>M$ cuando $\displaystyle\alpha<x<\alpha+\delta$ .
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha^{-}% }f(x)=+\infty$ si $\displaystyle\forall M\in\mathbb{R}\;\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle f(x)>M$ cuando $\displaystyle\alpha-\delta<x<\alpha$ .

Esto es análogo para $\displaystyle-\infty$ , aplicando las definiciones anteriores.

Definición 16.5 (Límites en el infinito).

Sea $\displaystyle f(x)$ una función definida en $\displaystyle\mathbb{R}$ .

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to+\infty}f(% x)=l\in\mathbb{R}$ si $\displaystyle\forall\varepsilon>0\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\;\exists N\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle\left|f(x)-l\right|<\varepsilon$ cuando $\displaystyle x>N$ .
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to-\infty}f(% x)=l\in\mathbb{R}$ si $\displaystyle\forall\varepsilon>0\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\;\exists N\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle\left|f(x)-l\right|<\varepsilon$ cuando $\displaystyle x<N$ .

Teorema 16.1 (Unicidad del límite).

Si $\displaystyle\alpha$ es un punto de acumulacion de $\displaystyle Domf$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x)$ existe, entonces es único.

Demostración.

Supongamos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=l_{1}$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}=l_% {2}$ , con $\displaystyle l_{1}<l_{2}$ (análogo para $\displaystyle l_{2}<l_{1}$ ). Cogemos un $\displaystyle\varepsilon>0$ tal que $\displaystyle(l_{1}-\varepsilon,l_{1}+\varepsilon)\cap(l_{2}-\varepsilon,l_{2}% +\varepsilon)=\varnothing\Rightarrow l_{1}+\varepsilon<l_{2}-\varepsilon% \Rightarrow 2\varepsilon<l_{2}-l_{1}\Rightarrow\varepsilon<\frac{l_{2}-l_{1}}{2}$ . Como $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=l_{1}\Rightarrow$ para $\displaystyle\varepsilon>0\;\exists\delta_{1}>0\text{ tal que }\left|f(x)-l_{1% }\right|<\varepsilon\;\forall x\in Domf\cap(\alpha-\delta_{1},\alpha+\delta_{1% }),x\neq\alpha$ . Como $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=l_{2}\Rightarrow$ para $\displaystyle\varepsilon>0\;\exists\delta_{2}>0\text{ tal que }\left|f(x)-l_{2% }\right|<\varepsilon\;\forall x\in Domf\cap(\alpha-\delta_{2},\alpha+\delta_{2})$ , $\displaystyle x\neq\alpha$ . Defino $\displaystyle\delta=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\{d_{1},d_{2}\}$ . Como $\displaystyle\alpha$ es punto de acumulacion de $\displaystyle Domf$ , $\displaystyle\exists x_{0}\in(\alpha-\delta,\alpha+\delta)\cap Domf$ con $\displaystyle x_{0}\neq\alpha$ que cumple

\displaystyle\left|f(x_{0})-l_{1}\right|<\varepsilon\Rightarrow-\varepsilon<f(% x_{0})-l_{1}<\varepsilon\Rightarrow l_{1}-\varepsilon<f(x_{0})<l_{1}+\varepsilon

y también

\displaystyle\left|f(x_{0})-l_{2}\right|<\varepsilon\Rightarrow l_{2}-% \varepsilon<f(x_{0})<l_{2}+\varepsilon

Luego $\displaystyle f(x_{0})\in(l_{1}-\varepsilon,l_{1}+\varepsilon)\cap(l_{2}-% \varepsilon,l_{2}+\varepsilon)$ . Esto es una contradicción con que los intervalos son disjuntos, como habíamos supuesto inicialmente. ∎

Proposición 16.1 (Criterio de sucesiones).

Sea $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ y $\displaystyle\alpha$ un punto de acumulación. Entonces

\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=l\Leftrightarrow(\forall(x_{n})\subset A,x_{n}\overset{n\rightarrow\infty}{% \longrightarrow}\alpha,x_{n}\neq\alpha\Rightarrow f(x_{n})\overset{n% \rightarrow\infty}{\longrightarrow}l)

Demostración.

$\displaystyle\Rightarrow$: ] Supongamos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=l$ . Sea $\displaystyle(x_{n})$ , $\displaystyle x_{n}\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha$ con $\displaystyle x_{n}\neq\alpha$ . Tenemos que ver que $\displaystyle\{f(x_{n})\}$ converge a $\displaystyle l$ $\displaystyle\Rightarrow\forall\varepsilon>0\;\exists n_{0}\in\mathbb{N}/\left% |f(x_{n})-l\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$ . Sea $\displaystyle\varepsilon>0$ . Sabemos que (*) $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=l$ , es decir, $\displaystyle\exists\delta>0$ de forma que $\displaystyle\left|f(x)-l\right|<\varepsilon\;\forall x\in A\cap(\alpha-\delta% ,\alpha+\delta)$ , $\displaystyle x\neq\alpha$ . También sabemos que $\displaystyle x_{n}\rightarrow\alpha$ , $\displaystyle x_{n}\neq\alpha$ , luego para $\displaystyle\delta>0$ , existe $\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\displaystyle\left|x_{n}-\alpha\right|<\delta\;\forall n\geq n_{0}$ . Entonces, por (*) tenemos que $\displaystyle\left|f(x_{n})-l\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$ ya que $\displaystyle x_{n}\in A$ , $\displaystyle\left|x_{n}-\alpha\right|<\delta$ . Por tanto, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}f(x% _{n})=l$ .
$\displaystyle\Leftarrow$: ] Supongamos que no existe $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x)$ y veamos que esto implica lo contrario de la hipótesis, es decir, que $\displaystyle\exists\{x_{n}\}\subset A,x_{n}\rightarrow\alpha,x_{n}\neq\alpha$ tal que $\displaystyle f(x_{n})\cancel{\rightarrow}l$ . Si $\displaystyle\cancel{\exists}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits% _{x\to\alpha}f(x)=l,\exists\varepsilon>0$ tal que $\displaystyle\forall\delta>0\;\exists x\in A\cap(\alpha-\delta,\alpha+\delta),% x\neq\alpha,$ tal que $\displaystyle\left|f(x)-l\right|\geq\varepsilon$ . Elegimos $\displaystyle\delta=\frac{1}{n}$ con $\displaystyle n\in\mathbb{N}\Rightarrow\exists x_{n}\in A\cap(\alpha-\delta,% \alpha+\delta)$ tal que $\displaystyle\left|f(x_{n})-l\right|\geq\varepsilon$ . Entonces $\displaystyle x_{n}\in(\alpha-\frac{1}{n},\alpha+\frac{1}{n})\Rightarrow x_{n}\rightarrow\alpha$ . Tambien tenemos que $\displaystyle\left|f(x_{n})-l\right|\geq\varepsilon$ , luego $\displaystyle f(x_{n})\cancel{\rightarrow}l$ .

∎

Proposición 16.2.

Supongamos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=l$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}g(x% )=m$ , entonces

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )+g(x)=l+m$
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}% \lambda f(x)=\lambda\cdot l,\lambda\in\mathbb{R}$
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )g(x)=l\cdot m$
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}% \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l}{m}$
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )^{g(x)}=l^{m}$

Demostración.

Probaremos el primer resultado utilizando la definición de límite.

Tenemos que probar que, dado $\displaystyle\varepsilon>0,\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle\left|f(x)+g(x)-(l+m)\right|<\varepsilon\;\forall x\in Dom(f+g)% \cap(\alpha-\delta,\alpha+\delta)$ con $\displaystyle x\neq\alpha$ . Sea $\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}>0$ . Sabemos que $\displaystyle\exists\delta_{1}>0/\left|f(x)-l\right|<\frac{\varepsilon}{2}\;% \forall x\in Domf\cap(\alpha-\delta_{1},\alpha+\delta_{1})$ . Tambien $\displaystyle\exists\delta_{2}>0/\left|g(x)-m\right|<\frac{\varepsilon}{2}\;% \forall x\in Domg\cap(\alpha-\delta_{2},\alpha+\delta_{2})$ . Definimos $\displaystyle\delta=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\{\delta_{1},% \delta_{2}\}>0$ y entonces se tiene que, $\displaystyle\forall x\in Dom(f+g)\cap(a-\delta,a+\delta)$ ,

$\left|f(x)+g(x)-(l+m)\right|=\left|f(x)-l+g(x)-m\right|\leq\left|f(x)-l\right|% +\left|g(x)-m\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

Todas las propiedades se pueden demostrar o bien de este modo o bien por sucesiones, aplicando la caracterización 16.1. Probaremos también la propiedad del límite del producto de funciones siguiendo el segundo método:

Sea $\displaystyle(x_{n})$ cualquier sucesión en $\displaystyle A$ tal que $\displaystyle x_{n}\neq\alpha\;\forall n\in\mathbb{N}$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{% n}=\alpha$ . Por el teorema 16.1 se obtiene que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}f(x% _{n})=l$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}g(x% _{n})=m$ . Por lo tanto, aplicando las propiedades de límites de sucesiones (8.2), llegamos a que

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}f(x% _{n})g(x_{n})=(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}f% (x_{n}))(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}g(x_{n}% ))=l\cdot m.$

Luego, aplicando de nuevo el teorema 16.1,

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )g(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}f(x_{n})g(% x_{n})=l\cdot m.$

∎

Proposición 16.3.

Supongamos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=l$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{y\to l}h(y)=m$ , entonces $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}h(f% (x))=m$ .

Proposición 16.4 (Regla del sandwich).

Sea $\displaystyle A\subseteq R$ , sean $\displaystyle f,g,h\colon A\to\mathbb{R}$ y sea $\displaystyle c\in\mathbb{R}$ un punto de acumulacion de $\displaystyle A$ . Si

\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)\quad\text{ para toda }\quad x\in A,x\neq c,

y si $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to c}f=L=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to c}h$ , entonces $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to c}g=L$ .

Ejemplo.

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\infty}e^{% -x}senx$ . Sabemos que $\displaystyle-1\leq\sin x\leq 1\;\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow-e^{-x}\leq e% ^{-x}\sin x\leq e^{-x}$ . Como $\displaystyle(-1)e^{-x}\overset{x\to\infty}{\longrightarrow}0$ y $\displaystyle e^{-x}\overset{x\to\infty}{\longrightarrow}0$ , aplicando la regla del sandwich, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\infty}e^{% -x}senx=0$ .
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}x\cos% \frac{1}{x}$ . Sabemos que $\displaystyle-1\leq\cos\frac{1}{x}\leq 1\;\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}x% \cos\frac{1}{x}$ : $\displaystyle-1\leq\cos\frac{1}{x}\leq 1\Rightarrow-x(\rightarrow 0)\leq x% \cdot\cos\frac{1}{x}\leq x(\rightarrow 0)$ . Por tanto, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}x% \cos\frac{1}{x}=0$ . $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{-}}x% \cos\frac{1}{x}$ : $\displaystyle-1\leq\cos\frac{1}{x}\leq 1\Rightarrow-x(\rightarrow 0)\geq x\cos% \frac{1}{x}\geq x(\rightarrow 0)$ . Luego $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{-}}x% \cos\frac{1}{x}=0$ . Entonces $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}x\cos% \frac{1}{x}=0.$ Otra forma es considerar el valor absoluto: $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\left|x% \cos\frac{1}{x}\right|=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0% }\left|x\right|\left|\cos\frac{1}{x}\right|$ $\displaystyle 0\leq\left|\cos\frac{1}{x}\right|\leq 1\Rightarrow 0\leq\left|x% \right|\left|\cos\frac{1}{x}\right|\leq\left|x\right|$ . Como $\displaystyle 0\rightarrow 0$ y $\displaystyle\left|x\right|\rightarrow 0$ , $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\left|x% \cos\frac{1}{x}\right|=0$ .

Proposición 16.5.

Sea $\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}$ , sea $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ y sea $\displaystyle c\in\mathbb{R}$ un punto de acumulación de $\displaystyle A$ . Si $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to c}f(x)>0$ , entonces $\displaystyle\exists\delta>0$ tal que si $\displaystyle x\in(c-\delta,c+\delta),x\neq c$ , $\displaystyle f(x)>0$ .⁴⁴ 4 También se puede demostrar que si el límite es negativo la función es negativa alrededor (similar).

Demostración.

Supongamos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to c}f(x)=l$ , con $\displaystyle l>0$ . Tomamos $\displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}l>0$ y, aplicando la definición de límite, se tiene que $\displaystyle\exists\delta>0$ tal que si $\displaystyle 0<\left|x-c\right|<\delta$ y $\displaystyle x\in A$ , entonces $\displaystyle\left|f(x)-l\right|<\frac{1}{2}l$ . Luego $\displaystyle-\frac{1}{2}l<f(x)-l<\frac{1}{2}l\Rightarrow\frac{1}{2}l<f(x)<% \frac{3}{2}l$ . En particular, $\displaystyle f(x)>\frac{1}{2}l>0$ . ∎