4 Determinantes de matrices cuadradas

Por induccion en el orden $\displaystyle n$ de la matriz identidad.

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  Si $\displaystyle n=1$, $\displaystyle\det(I_{1})=\det(1)=1$.

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  Supongamos que $\displaystyle\det(I_{n-1})=1$ y veamos que $\displaystyle\det(I_{n})=1$.

  Por una parte, el adjunto $\displaystyle(11)$-esimo de $\displaystyle I_{n}$ es $\displaystyle\alpha_{11}=(-1)^{1+1}\det(I_{n-1})$, asi que por la hipotesis de induccion, $\displaystyle\alpha_{11}=1$.

  Ademas, las entradas $\displaystyle(21),(31),\ldots,(n1)$ de la matriz identidad son todas iguales a cero, asi que no hace falta calcular $\displaystyle\alpha_{21},\ldots,\alpha_{n1}$. Sustituyendo en la formula del desarrollo del determinante por adjuntos de la primera columna

  $$\displaystyle\det(I_{n})=1\alpha_{11}+0\alpha_{21}+\cdots+0\alpha_{n1}=1.$$

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Las propiedades 1), 2) y 4) se demuestran por inducción. Veamos la demostración del resto de propiedades:

1. 3.
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   Veamos que esta propiedad se deduce de 1) y 2). Expresamos $\displaystyle A$ por filas:

   $$\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)$$

   y construimos la matriz auxiliar

   $$\displaystyle A^{\prime}=\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}+A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}+A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)$$

   Entonces, por 1) y 2),

   $$\displaystyle 0=_{1)}\det(A^{\prime})=_{2)}\underbrace{\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)}_{=_{1)}0}+\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)+\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)+\underbrace{\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)}_{=_{1)}0}$$

   de donde

   $$\displaystyle\det(A)=\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)=-\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)$$
2. 5.
   ​

   Si expresamos $\displaystyle A$ por filas

   $$\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right),$$

   tomamos $\displaystyle\lambda\in\mathbb{K}$ y vamos a calcular el determinante de la matriz que en la fila $\displaystyle i$ tiene la fila $\displaystyle i$ de $\displaystyle A$ mas $\displaystyle\lambda$ por la fila $\displaystyle j$:

   $$\displaystyle\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}+\lambda A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)=_{1),4)}\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)+\lambda\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)=_{2)}\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)$$
3. 6.
   ​

   Utilizando las propiedades anteriores y que $\displaystyle\det(I_{n})=1$, vamos a calcular cuánto valen los determinantes de las matrices elementales $\displaystyle P_{ij},P_{ij}(t)(i\neq j)$ y $\displaystyle Q_{i}(s)$:

   •  
     ​

     Como $\displaystyle P_{ij}$, $\displaystyle i\neq j$, multiplicada por delante de la matriz identidad, intercambia las filas $\displaystyle i$ y $\displaystyle j$ de la matriz identidad,

     $$\displaystyle-1=_{3)}\det(P_{ij}I_{n})=\det(P_{ij}).$$
   •  
     ​

     Como $\displaystyle P_{ij}(\lambda)$, multiplicada por delante de la matriz identidad, suma a la fila $\displaystyle i$ la fila $\displaystyle j$ de la matriz identidad multiplicada por $\displaystyle\lambda$, y eso no afecta al valor del determinante,

     $$\displaystyle 1=_{4)}\det(P_{ij}(\lambda)I_{n})=\det(P_{ij}(\lambda)).$$
   •  
     ​

     Como $\displaystyle Q_{i}(s)$, multiplicada por delante de la matriz identidad, multiplica la fila $\displaystyle i$ de la matriz identidad por $\displaystyle s$, el determinante de la matriz resultante es $\displaystyle s\det(I_{n})$, asi que

     $$\displaystyle s=_{5)}\det(Q_{i}(s)I_{n})=\det(Q_{i}(s)).$$

   Las propiedades 3), 4) y 5) se pueden escribir usando matrices elementales. Si $\displaystyle A$ es una matriz cualquiera, $\displaystyle i\neq j$,

   •  
     ​

     $\displaystyle\det(P_{ij}A)=_{3)}-\det(A)=\det(P_{ij})\det(A)$

   •  
     ​

     $\displaystyle\det(P_{ij}A)=_{4)}\det(A)=\det(P_{ij}(\lambda))\det(A)$

   •  
     ​

     $\displaystyle\det(Q_{i}(s)A)=_{5)}s\det(A)=\det(Q_{i}(s))\det(A)$

   y llegamos a la concluson de que si $\displaystyle E$ denota cualquiera de las matrices elementales y $\displaystyle A$ es una matriz en general

   $$\displaystyle\det(EA)=\det(E)\det(A)$$

   Vamos a usar esta propiedad para probar que $\displaystyle A$ es invertible si y solo si el determinante de $\displaystyle A$ es no nulo.

   $\displaystyle\Rightarrow)$ Sabemos que $\displaystyle A$ es invertible si y solo si $\displaystyle A=E_{1}\cdot E_{2}\cdots E_{k}$ para ciertas matrices elementales $\displaystyle E_{1},\ldots,E_{k}$. Por tanto,

   $$\displaystyle\det(A)=\det(E_{1}\cdot E_{2}\cdots E_{k})=\det(E_{1})\det(E_{2}\cdots E_{k})=\underbrace{\det(E_{1})}_{\neq 0}\underbrace{\det(E_{2})}_{\neq 0}\cdots\underbrace{\det(E_{k})}_{\neq 0}\neq 0$$

   $\displaystyle\Leftarrow)$ Veamos que si $\displaystyle A$ no es invertible, entonces el determinante de $\displaystyle A$ es cero: si $\displaystyle A$ no es invertible, cuando apliquemos el método de Gauss-Jordan, que consiste en ir multiplicando $\displaystyle A$ por delante por matrices elementales hasta encontrar una matriz escalonada reducida, nos encontraremos con una matriz escalonada reducida $\displaystyle R$ que tiene toda una fila de ceros. Por la propiedad 4), si una matriz tiene toda una fila de ceros, su determinante es cero. Así

   $$\displaystyle 0=_{4)}\det(R)=\det(E_{1}\cdots E_{k}A)=\underbrace{\det(E_{1})}_{\neq 0}\cdots\underbrace{\det(E_{k})}_{\neq 0}\det(A)$$

   de donde se obtiene que $\displaystyle\det(A)=0$.

4. 7.
   ​

   Hasta ahora hemos probado que $\displaystyle\det(EA)=\det(E)\det(A)$, para $\displaystyle E$ una matriz elemental. Veamos que en general $\displaystyle\det(AB)=\det(A)\det(B)$, para $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ dos matrices cualquiera. Distinguimos dos casos:

   1. a)
      ​

      Si $\displaystyle\det(A)=0$ o $\displaystyle\det(B)=0$, entonces, por 6) $\displaystyle A$ o $\displaystyle B$ no son invertibles, con lo que $\displaystyle AB$ no es invertible y, de nuevo, por $\displaystyle 6)$, $\displaystyle 0=\det(AB)=\det(A)\det(B)$

   2. b)
      ​

      Si $\displaystyle\det(A)\neq 0$ y $\displaystyle\det(B)\neq 0$, entonces, por $\displaystyle 6)$, tanto $\displaystyle A$ como $\displaystyle B$ son invertibles (producto cada una de ellas por matrices elementales). Supongamos que $\displaystyle A=E_{1}\cdots E_{k}$, $\displaystyle B=E^{\prime}_{1}\cdots E^{\prime}_{s}$. Así, por la conclusión anterior,

      	$\displaystyle\det(AB)$	$\displaystyle=\det(E_{1}\cdots E_{k}E^{\prime}_{1}\cdots E^{\prime}_{s})$
      		$\displaystyle=\det(E_{1})\cdots\det(E_{k})\det(E^{\prime}_{1})\cdots\det(E^{\prime}_{s})$
      		$\displaystyle=\det(A)\det(B).$

5. 8.
   ​

   Distinguimos dos casos:

   1. a)
      ​

      Si $\displaystyle\det(A)=0$, entonces, por $\displaystyle 6),$ $\displaystyle A$ no es invertible, con lo que $\displaystyle A^{t}$ tampoco es invertible y, por $\displaystyle 6)$, $\displaystyle\det(A^{t})=0$.

   2. b)
      ​

      Si $\displaystyle\det(A)\neq 0$, entonces, por $\displaystyle 6)$, $\displaystyle A$ es invertible ($\displaystyle A$ es producto de matrices elementales $\displaystyle A=E_{1}\cdots E_{k}$). Para cada matriz elemental, es fácil comprobar que $\displaystyle\det(E)=\det(E^{t})$, así que

      	$\displaystyle\det(A^{t})$	$\displaystyle=\det((E_{1}\cdots E_{k})^{t})=\det(E^{t}_{k}\cdots E^{t}_{1})$
      		$\displaystyle=\det(E^{t}_{k})\cdots\det(E^{t}_{1})=\det(E_{k})\cdots\det(E_{1})$
      		$\displaystyle=\det(E_{1})\cdots\det(E_{k})=\det(E_{1}\cdots E_{k})$
      		$\displaystyle=\det(A)$

6. 9.
   ​

   Se sigue de 3) y 8).

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