2 Matrices

Definición 2.1.

Sea $\displaystyle\mathbb{K}$ un cuerpo y sean $\displaystyle m,n\in\mathbb{N}$ . Una matriz $\displaystyle m\times n$ sobre $\displaystyle\mathbb{K}$ es una tabla rectangular formada por $\displaystyle m$ filas y $\displaystyle n$ columnas de elementos de $\displaystyle\mathbb{K}$ :

\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}

donde $\displaystyle a_{ij}\in\mathbb{K}$ , $\displaystyle i=1,\ldots,m$ , $\displaystyle j=1,\ldots,n$ .

$\displaystyle a_{ij}$ es el elemento $\displaystyle(ij)$ de la matriz $\displaystyle A$ , y se llama coeficiente de la matriz,
$\displaystyle i$ es el índice de fila,
$\displaystyle j$ es el índice de columna,
los elementos $\displaystyle a_{11},a_{22},\ldots,a_{pp}$ (donde $\displaystyle p=min\{m,n\}$ ) se llaman elementos diagonales y $\displaystyle\begin{pmatrix}a_{11}&a_{22}&\cdots&a_{pp}\\ \end{pmatrix}$ se llama diagonal principal de $\displaystyle A$ .
Notacion: $\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j}$

Si $\displaystyle m=n$ , $\displaystyle A$ se llama matriz cuadrada de orden $\displaystyle n$ .

Si $\displaystyle m=1$ , $\displaystyle A$ se llama matriz fila.

Si $\displaystyle n=1$ , $\displaystyle A$ se llama matriz columna.

Si $\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots,i_{p}$ son algunos de los indices de fila de $\displaystyle A$ , y $\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots,j_{q}$ son algunos de los índices de columna de $\displaystyle A$ , la matriz $\displaystyle p\times q$ formada por las filas y columnas correspondientes a los índices señalados se llama submatriz de $\displaystyle A$ .

Cabe destacar que en una matriz $\displaystyle A$ de tamaño $\displaystyle m\times n$ cada fila de $\displaystyle A$ viene dada por $\displaystyle n$ elementos de $\displaystyle K$ y puede interpretarse como un elemento de $\displaystyle K^{n}:A_{1},\ldots,A_{m}\in K^{n}$ . Del mismo modo, cada columna de $\displaystyle A$ viene dada por $\displaystyle m$ elementos de $\displaystyle K$ y puede interpretarse como un elemento de $\displaystyle K^{m}:A^{1},\ldots,A^{n}\in K^{m}$ .

Definición 2.2.

Dado un cuerpo $\displaystyle\mathbb{K}$ , denotamos

\displaystyle\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{K})=\mathfrak{M}_{m\times n}(% \mathbb{K})=\{A\mid A\text{ matriz }m\times n\text{ sobre }\mathbb{K}\}

\displaystyle\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})=\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})=\mathrm% {Mat}_{n\times n}(\mathbb{K})

Definición 2.3 (Tipos de matrices).

1.

Una matriz $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ se llama matriz diagonal si $\displaystyle a_{ij}=0$ para todo $\displaystyle i\neq j$ :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&&0\\ &\ddots&\\ 0&&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$
2.

Una matriz diagonal $\displaystyle A$ tal que $\displaystyle a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}$ se llama matriz escalar:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\lambda&&0\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda\\ \end{pmatrix}$

Si $\displaystyle\lambda=1$ , la matriz $\displaystyle A$ se llama matriz identidad y se denota $\displaystyle I$ .
3.

La matriz $\displaystyle m\times n$ tal que todos sus elementos son $\displaystyle 0_{K}$ se llama matriz nula:

$\displaystyle 0_{mn}=\begin{pmatrix}0_{K}&\cdots&0_{K}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0_{K}&\cdots&0_{K}\\ \end{pmatrix}$
4.

Una matriz cuadrada $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ se llama matriz triangular superior si $\displaystyle a_{ij}=0$ para todo $\displaystyle i>j$ :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0_{K}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0_{K}&\cdots&0_{K}&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$
5.

Una matriz cuadrada $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ se llama matriz triangular inferior si $\displaystyle a_{ij}=0$ para todo $\displaystyle i<j$ .

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&0_{K}&\cdots&0_{K}\\ a_{12}&a_{22}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&0_{K}\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$
6.

$\displaystyle E_{ij}\in\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ denota la matriz que tiene todos sus elementos nulos, salvo el elemento $\displaystyle(ij)$ (fila $\displaystyle i$ columna $\displaystyle j$ ) que es $\displaystyle 1_{K}$ .

Definición 2.4.

Dada $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ ,

1.

la matriz opuesta de $\displaystyle A$ es $\displaystyle-A=(-a_{ij})_{ij}\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$
2.

la matriz traspuesta de $\displaystyle A$ es $\displaystyle A^{t}=(a_{ji})_{ji}\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$

Ejemplo.

Si $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ \end{pmatrix}$ , entonces

\displaystyle-A=\begin{pmatrix}-1&-2&-3\\ -4&-5&-6\\ \end{pmatrix}\text{ y }A^{t}=\begin{pmatrix}1&4\\ 2&5\\ 3&6\\ \end{pmatrix}

Definición 2.5.

Dada una matriz cuadrada $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ ,

se dice que $\displaystyle A$ es simetrica si $\displaystyle A^{t}=A$
se dice que $\displaystyle A$ es una matriz antisimetrica si $\displaystyle A^{t}=-A$

Definición 2.6 (Suma de matrices).

En $\displaystyle\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ se define la suma de matrices del siguiente modo:

\displaystyle A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{ij}\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})

para toda $\displaystyle A=(a_{ij})_{ij}$ , $\displaystyle B=(b_{ij})_{ij}$ en $\displaystyle\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ . Es decir, para sumar dos matrices, ambas han de tener el mismo tamaño (mismo número de filas y mismo número de columnas) y la suma se realiza componente a componente (en cada una de las posiciones $\displaystyle(ij)$ de la matriz $\displaystyle A+B$ escribiremos $\displaystyle a_{ij}+b_{ij}$ ).

Proposición 2.1.

$\displaystyle(\mathfrak{{M}}_{m\times n},+)$ es un grupo conmutativo.

Demostración.

Claramente, la suma de matrices satisface la propiedad asociativa y la propiedad conmutativa (porque son propiedades que se cumplen en $\displaystyle\mathbb{K}$ ). Además, $\displaystyle\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ tiene por elemento neutro de la suma a la matriz nula $\displaystyle 0_{m\times n}$ , y todo elemento $\displaystyle A$ de $\displaystyle\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ tiene por opuesto a su matriz opuesta $\displaystyle-A$ . ∎

Definición 2.7 (Producto de una matriz por un escalar).

Dada una matriz $\displaystyle A\in\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ y un escalar $\displaystyle t\in\mathbb{K}$ , definimos el producto de $\displaystyle t$ por $\displaystyle A=(a_{ij})_{ij}$ como la matriz de $\displaystyle\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ cuyo elemento en la posicion $\displaystyle(ij)$ es $\displaystyle ta_{ij}$ . Lo denotamos por $\displaystyle tA$ .

Definición 2.8 (Producto de matrices).

Dadas $\displaystyle A=(a_{ij})_{ij}\in\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ y $\displaystyle B=(b_{ij})_{ij}\in\mathfrak{{M}}_{n\times p}(\mathbb{K})$ , definimos el producto de $\displaystyle A$ por $\displaystyle B$ como la matriz $\displaystyle C=(c_{ij})_{ij}\in\mathfrak{{M}}_{m\times p}(\mathbb{K})$ cuyos elementos $\displaystyle c_{ij}$ son

\displaystyle c_{ij}=\begin{pmatrix}a_{i1}&\cdots&a_{in}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1j}\\ \vdots\\ b_{nj}\\ \end{pmatrix}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

Notemos que solo se pueden multiplicar dos matrices $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ cuando el número de columnas de $\displaystyle A$ coincide con el número de filas de $\displaystyle B$ .

Proposición 2.2 (Propiedades del producto de matrices).

Las propiedades del producto de matrices son las siguientes:

1.

El producto no es conmutativo en general.
2.

$\displaystyle I_{m}A=A=AI_{n}$ para todo $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ .
3.

En general, $\displaystyle AB=0\not\Rightarrow A=0\text{ o }B=0$
4.

El producto es asociativo: $\displaystyle(AB)C=A(BC)$
5.

$\displaystyle A(B_{1}+B_{2})=AB_{1}+AB_{2}$
6.

$\displaystyle(A_{1}+A_{2})B=A_{1}B+AB_{2}$
7.

$\displaystyle(tA)B=t(AB)=A(tB)$

Demostración.

1.

Por ejemplo,

$\displaystyle AB=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}$

$\displaystyle BA=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&1\\ \end{pmatrix}$
2.

Es trivial.
3.

Tomar por ejemplo $\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}$ y $\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}$ , que cumplen $\displaystyle AB=0$ .

Las propiedades 4,5,6 y 7 se deducen de las correspondientes propiedades en el cuerpo $\displaystyle\mathbb{K}$ . ∎

Proposición 2.3.

1.

Dados $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ y $\displaystyle E_{ij}\in\mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ , $\displaystyle AE_{ij}$ es la matriz que en la columna $\displaystyle j$ tiene la columna $\displaystyle i$ de $\displaystyle A$ , y en el resto ceros. Caso particular, $\displaystyle p=1$ .
2.

Dados $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ y $\displaystyle E_{ij}\in\mathfrak{M}_{p\times m}(\mathbb{K})$ , $\displaystyle E_{ij}A$ es la matriz que en la fila $\displaystyle i$ tiene la fila $\displaystyle j$ de $\displaystyle A$ , y en el resto ceros. Caso particular, $\displaystyle p=1$ .
3.

Si $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ es tal que $\displaystyle AX=0$ para toda $\displaystyle X\in\mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ , entonces $\displaystyle A=0$ . Análogamente, si $\displaystyle YA=0$ para toda $\displaystyle Y\in\mathfrak{M}_{p\times m}(\mathbb{K})$ , entonces $\displaystyle A=0$

Demostración.

1.

$\displaystyle AE_{ij}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}\cdot E_{ij}=\begin{pmatrix}0&\cdots&a_{1i}&\cdots&0\\ 0&\cdots&a_{2i}&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&&\\ 0&\cdots&a_{mi}&\cdots&0\\ \end{pmatrix}$
2.

$\displaystyle E_{ij}A=E_{ij}\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j1}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0\\ \end{pmatrix}$
3.

Si $\displaystyle AX=0$ para todo $\displaystyle X\in\mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ entonces $\displaystyle AE_{ij}=0$ para todo elemento $\displaystyle E_{ij}$ de $\displaystyle\mathfrak{{M}}_{n\times p}(\mathbb{K})$ . Por tanto, todas las columnas de $\displaystyle A$ son cero, de donde $\displaystyle A$ es cero. De modo similar, si $\displaystyle YA=0$ para toda $\displaystyle Y\in\mathfrak{{M}}_{p\times m}(\mathbb{K})$ entonces $\displaystyle E_{ij}A=0$ para todo $\displaystyle i,j$ , de donde se deduce que todas las filas de $\displaystyle A$ son cero.

∎

Proposición 2.4.

$\displaystyle(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\cdot)$ es un anillo con identidad, no conmutativo en general.

Definición 2.9 (Inversa de una matriz).

Decimos que una matriz cuadrada $\displaystyle A$ es invertible o regular si tiene inverso en el anillo de las matrices, es decir, si existe una matriz $\displaystyle B$ del mismo tamaño tal que $\displaystyle AB=BA=I_{n}$ . La matriz $\displaystyle B$ se dice inversa de $\displaystyle A$ .

Si $\displaystyle A$ no es invertible, se dice singular.

Proposición 2.5.

1.

Si $\displaystyle A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ es invertible, entonces la inversa de $\displaystyle A$ es unica y se denota $\displaystyle A^{-1}$ .
2.

Si $\displaystyle A$ es invertible y $\displaystyle B$ es tal que $\displaystyle AB=I_{n}$ , entonces $\displaystyle B=A^{-1}$
3.

Si $\displaystyle A$ es invertible y $\displaystyle C$ es tal que $\displaystyle CA=I_{n}$ , entonces $\displaystyle C=A^{-1}$ .
4.

Si $\displaystyle A$ es invertible entonces $\displaystyle A^{-1}$ tambien es invertible y su inversa es $\displaystyle A$ .
5.

Si $\displaystyle A,B\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ son matrices inversibles, entonces $\displaystyle AB$ tambien es invertible, y su inversa es $\displaystyle B^{-1}A^{-1}$ .

Demostración.

1.

Si $\displaystyle B_{1},B_{2}$ son inversas de $\displaystyle A$ entonces $\displaystyle B_{1}=B_{1}I_{n}=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=I_{N}B_{2}=B_{2}$
2.

Si $\displaystyle AB=I_{n}$ , entonces $\displaystyle A^{-1}=A^{-1}\cdot I_{n}=A^{-1}\cdot(AB)=(A^{-1}A)B=I_{n}B% \Rightarrow A^{-1}=B$
3.

Analogo a la propiedad 2.
4.

Trivial.
5.

$\displaystyle(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AI_{n}A^{-1}=AA^{-1}=I_{n}$ .

∎

Definición 2.10 (Matrices elementales).

Se llama matriz elemental a toda matriz cuadrada de orden $\displaystyle n$ de uno de los siguientes tipos:

1.

$\displaystyle P_{ij}=I_{n}-E_{ii}+E_{ii}+E_{ji}$
2.

$\displaystyle P_{ij}(t)=I_{n}+tE_{ij},$ con $\displaystyle t\in\mathbb{K}$
3.

$\displaystyle Q_{i}(s)=I_{n}+(s-1)E_{ii}$ , con $\displaystyle 0\neq s\in\mathbb{K}$

donde $\displaystyle E_{ij}$ es la matriz cuadrada de orden $\displaystyle n$ que tiene todas sus entradas nulas salvo la entrada de la posicion $\displaystyle(ij)$ que es $\displaystyle 1_{K}$ .

Ejemplo.

\displaystyle P_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix},\quad P_{31}(t)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ t&0&1\\ \end{pmatrix},\quad Q_{3}(s)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&s\\ \end{pmatrix}

Proposición 2.6.

1.

Para toda $\displaystyle A$ si $\displaystyle P_{ij},P_{ij}(t),Q_{i}(s)$ ,

$\displaystyle AP_{ij}$ se obtiene intercambiando las columnas $\displaystyle i,j$ de A.

$\displaystyle AP_{ij}(t)$ se obtiene sumando a la columna $\displaystyle j$ de $\displaystyle A$ , la columna $\displaystyle i$ de $\displaystyle A$ multiplicada por $\displaystyle t$ .

$\displaystyle AQ_{i}(s)$ se obtiene multiplicando la columna $\displaystyle i$ de $\displaystyle A$ por $\displaystyle s$ .
2.

Para toda $\displaystyle A$ si $\displaystyle P_{ij},P_{ij}(t),Q_{i}(s)$ ,

$\displaystyle P_{ij}A$ se obtiene intercambiando las filas $\displaystyle i,j$ de A.

$\displaystyle P_{ij}(t)A$ se obtiene sumando a la fila $\displaystyle j$ de $\displaystyle A$ , la fila $\displaystyle i$ de $\displaystyle A$ multiplicada por $\displaystyle t$ .

$\displaystyle Q_{i}(s)A$ se obtiene multiplicando la fila $\displaystyle i$ de $\displaystyle A$ por $\displaystyle s$ .
3.

Las matrices elementales son inversibles: $\displaystyle P_{ij}^{-1}=P_{ij}$ , $\displaystyle P_{ij}(t)^{-1}=P_{ij}(-t)$ y $\displaystyle Q_{i}(s)^{-1}=Q_{i}(s^{-1})$

Proposición 2.7 (Propiedades de la trasposicion de matrices).

Las propiedades de las trasposiciones de matrices son las siguientes:

1.

$\displaystyle(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}$
2.

$\displaystyle(sA)^{t}=sA^{t}$
3.

$\displaystyle(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$
4.

$\displaystyle A$ es una matriz invertible si y solo si $\displaystyle A^{t}$ tambien es invertible (y su inversa es $\displaystyle(A^{-1})^{t}$ )
5.

$\displaystyle E^{t}_{ij}=E_{ji},P^{t}_{ij}=P_{ij},Q_{i}(s)^{t}=Q_{i}(s)$