1 Nociones basicas

Definición 1.1.

Un conjunto (denotado con letras mayusculas
A,B,C,\displaystyle A,B,C, etc.) es una coleccion de elementos, usualmente denotados con letras minusculas (a,b,c,etc.). En los conjuntos no importa el orden de los elementos.

Si queremos indicar todos los elementos que pertenecen a un conjunto, los indicaremos entre llaves. Por ejemplo, A={a,b,c}\displaystyle A=\{a,b,c\}

Para indicar que un elemento x\displaystyle x pertenece a un conjunto A\displaystyle A escribiremos x∈A\displaystyle x\in A. El conjunto que no contiene ningun elemento se llama conjunto vacio y se escribe ∅\displaystyle\varnothing.

Ejemplo.

ℕ\displaystyle\mathbb{N} es el conjunto de los numeros naturales.

ℤ\displaystyle\mathbb{Z} es el conjunto de los numeros enteros.

ℚ\displaystyle\mathbb{Q} es el conjunto de los numeros racionales.

ℝ\displaystyle\mathbb{R} es el conjunto de los numeros reales.

ℂ\displaystyle\mathbb{C} es el conjunto de los numeros complejos. ℂ={a+b⁢i:a,b∈ℝ}\displaystyle\mathbb{C}=\{a+bi\colon a,b\in\mathbb{R}\}.

Definición 1.2.

El producto cartesiano de dos conjuntos A\displaystyle A y B\displaystyle B se denota como A×B\displaystyle A\times B y se define por

A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}

Es decir, es el conjunto de todas las posibles parejas donde el primer numero pertenece al conjunto A\displaystyle A y el segundo pertenece al conjunto B\displaystyle B.

El producto cartesiano A×A\displaystyle A\times A se escribe A2\displaystyle A^{2}. En caso general, se define An\displaystyle A^{n} como

An={(x1,x2,…,xn)∣x1,x2,…,xn∈A}\displaystyle A^{n}=\{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\mid x_{1},x_{2},\dots,x_{n}% \in A\}
Definición 1.3.

Una operacion binaria interna ∗\displaystyle* de un conjunto X\displaystyle X es una aplicacion

∗:X×X\displaystyle*\colon X\times X ⟶X\displaystyle\longrightarrow X
(x,y)\displaystyle(x,y) ⟼x∗y\displaystyle\longmapsto x*y

que a cada elemento (x,y)∈X×X\displaystyle(x,y)\in X\times X le asigna un unico elemento de X\displaystyle X, denotado por x∗y\displaystyle x*y. Para indicar que X\displaystyle X tiene una operacion binaria interna ∗\displaystyle* habitualmente escribiremos (X,∗)\displaystyle(X,*).

Ejemplo.

En el conjunto de los numeros naturales, se pueden definir dos operaciones binarias internas:

+:ℕ×ℕ⟶ℕ,(a,b)⟼a+b\displaystyle+\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N},(a,b)% \longmapsto a+b
⋅:ℕ×ℕ⟶ℕ\displaystyle\cdot\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}

Decimos que e∈X\displaystyle e\in X es elemento neutro de (X,∗)\displaystyle(X,*) si e∗x=x∗e=x\displaystyle e*x=x*e=x para todo x∈X\displaystyle x\in X.

La operación interna en X\displaystyle X es asociativa si x∗(y∗z)=(x∗y)∗z⁢∀x,y,z∈X\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z\;\forall x,y,z\in X. La operación interna ∗\displaystyle* en X\displaystyle X es conmutativa si x∗y=y∗x⁢∀x,y∈X\displaystyle x*y=y*x\;\forall x,y\in X.

El inverso de un elemento x∈X\displaystyle x\in X respecto de la operación interna ∗\displaystyle*, si existe, es otro elemento y∈X\displaystyle y\in X tal que x∗y=y∗x=e\displaystyle x*y=y*x=e. El inverso de cada elemento es único cuando ∗\displaystyle* es asociativa.

Demostración.

Supongamos que existe y1,y2\displaystyle y_{1},y_{2} tal que y1∗x=e\displaystyle y_{1}*x=e y y2∗x=e\displaystyle y_{2}*x=e, con ∗\displaystyle* asociativa.

y1=e∗y1=(y2∗x)∗y1=y2∗(x∗y1)=y2∗e=y2\displaystyle y_{1}=e*y_{1}=(y_{2}*x)*y_{1}=y_{2}*(x*y_{1})=y_{2}*e=y_{2}

∎

El inverso de x\displaystyle x respecto de ∗\displaystyle* se suele denotar x−1\displaystyle x^{-1}.

Caso particular: si la operacion interna en X\displaystyle X es la suma +\displaystyle+, el elemento neutro se denota como 0\displaystyle 0 y el inverso, si existe, de un elemento x\displaystyle x se suele llamar opuesto y se denota como −x\displaystyle-x.

Definición 1.4 (Grupo).

Un conjunto G\displaystyle G con una operacion binaria interna ∗\displaystyle* es un grupo si tiene elemento neutro, si ∗\displaystyle* es asociativa y si todo elemento de G\displaystyle G tiene inverso. Si ademas ∗\displaystyle* es conmutativa, (G,∗)\displaystyle(G,*) es un grupo conmutativo o abeliano.

Definición 1.5 (Anillo).

Un conjunto A\displaystyle A con dos operaciones internas, denotadas +\displaystyle+ y ⋅\displaystyle\cdot, es un anillo si cumple:

  •  
    ​

    (A,+)\displaystyle(A,+) es un grupo abeliano.

  •  
    ​

    ⋅\displaystyle\cdot es asociativa.

  •  
    ​

    Distributividad: x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z∀x,y,z∈A\displaystyle x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad\forall x,y,z\in A

Si, ademas, existe elemento neutro respecto de la operación ⋅\displaystyle\cdot, será un anillo unitario. Si ⋅\displaystyle\cdot es conmutativa, A\displaystyle A es un anillo conmutativo.

Definición 1.6 (Cuerpo).

Un cuerpo es un anillo conmutativo unitario (X,+,⋅)\displaystyle(X,+,\cdot) en el que, además, todo elemento distinto del elemento neutro de la suma tiene inverso respecto de ⋅\displaystyle\cdot.