5 Principios basicos

Proposición 5.1 (Principio del producto).

Sea 𝒜\displaystyle\mathcal{{A}} una actividad que se puede realizar en t≥2\displaystyle t\geq 2 pasos secuenciales, de manera que el paso 1 se puede hacer de n1\displaystyle n_{1} fofrmas distintas, el paso 2 se puede hacer de n2\displaystyle n_{2} formas distintas, …, y el paso t\displaystyle t se puede hacer de nt\displaystyle n_{t} formas distintas. Entonces el numero de posibles formas de realizar la actividad 𝒜\displaystyle\mathcal{{A}} es n1⋅n2⁢⋯⁢nt\displaystyle n_{1}\cdot n_{2}\cdots n_{t}.

Ejemplo.

Sean B1,B2,…,Bt\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots,B_{t} conjuntos finitos no vacios. Calcula |B1×B2×⋯×Bt|\displaystyle|B_{1}\times B_{2}\times\cdots\times B_{t}|. B1×B2×⋯×Bt={(b1,b2,…,bt)∣∀bi⁢∃Bi}\displaystyle B_{1}\times B_{2}\times\cdots\times B_{t}=\{(b_{1},b_{2},\ldots,% b_{t})\mid\forall b_{i}\exists B_{i}\}. Por tanto, habra |B1|\displaystyle|B_{1}| opciones de la primera coordenada, |B2|\displaystyle|B_{2}| opciones de la segunda, …, |Bt|\displaystyle|B_{t}| opciones de la t-esima. |B1×B2×⋯×Bt|=B1⋅B2⁢⋯⁢Bt\displaystyle|B_{1}\times B_{2}\times\cdots\times B_{t}|=B_{1}\cdot B_{2}% \cdots B_{t}.

Ejemplo.

El alfabeto español consta de 27 letras de las cuales 5 son vocales. Cuantas palabras (con o sin sentido) de 7 letras se pueden formar de manera que empiecen por vocal y que nunca tengan dos vocales ni dos consonantes seguidas? Solucion: se pueden formar 54⋅223\displaystyle 5^{4}\cdot 22^{3} palabras.

Ejemplo.

Se lanzan simultaneamente dos dados de 6 caras, uno de color rojo y otro de color azul. Despues se suman los resultados. De cuantas formas se puede obtener un resultado total de 10 o mas? Consideramos varios casos dependiendo de la suma de los dos dados:

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    Caso 1: suma 12. Se puede sacar con un 6 en ambos dados (1 forma).

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    Caso 2: suma 11. Se puede sacar un 6 en el rojo y 5 en el azul o 6 en el azul y 5 en el rojo (2 formas).

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    ​

    Caso 3: suma 10. 5 rojo y 5 azul, 4 rojo y 6 azul, 6 rojo y 4 azul (3 formas).

La solucion es 1+2+3=6\displaystyle 1+2+3=6 formas de obtener 10 o mas.

Proposición 5.2.

Sea 𝒜\displaystyle\mathcal{{A}} una actividad tal que las distintas formas de realizarla son los elementos de un conjunto finito B\displaystyle B. Supongamos que B\displaystyle B se puede escribir como union de subconjuntos disjuntos dos a dos, es decir,

B=B1∪B2∪⋯∪Bt⁢, y si ⁢i≠j⁢ entonces ⁢Bi∩Bj=∅\displaystyle B=B_{1}\cup B_{2}\cup\cdots\cup B_{t}\text{, y si }i\neq j\text{% entonces }B_{i}\cap B_{j}=\varnothing

Supongamos tambien que |Bj|=nj\displaystyle|B_{j}|=n_{j}. Entonces el numero de posibles formas de realizar la actividad 𝒜\displaystyle\mathcal{{A}} es n1+n2+⋯+nt\displaystyle n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}. (Es decir, |B|=|B1∪B2∪⋯∪Bt|=|B1|+|B2|+⋯+|Bt|\displaystyle|B|=|B_{1}\cup B_{2}\cup\cdots\cup B_{t}|=|B_{1}|+|B_{2}|+\cdots+% |B_{t}|).

Ejemplo.

El alfabeto español consta de 27 letras de las cuales 5 son vocales. Cuantas palabras de 4 letras se pueden formar de manera que empiecen por “D” y acaben en consonante o que empiecen por “F” y acaben en vocal?

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    Caso 1: 1⋅272⋅22\displaystyle 1\cdot 27^{2}\cdot 22.

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    Caso 2: 1⋅272⋅5\displaystyle 1\cdot 27^{2}\cdot 5.

Todos los casos posibles son 272⋅22+272⋅5=273\displaystyle 27^{2}\cdot 22+27^{2}\cdot 5=27^{3} (como son casos disjuntos puedo aplicar la regla de la suma).

Ejemplo.

Cuantas palabras de 4 letras se pueden formar de manera que empiecen por “D” o acaben en “F”?

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    Caso 1: 1⋅273\displaystyle 1\cdot 27^{3}

  •  
    ​

    Caso 2: 1⋅273\displaystyle 1\cdot 27^{3}

En este caso, no son disjuntos (por ejemplo, DEEF esta en ambos). Debemos restar la interseccion, que será 1⋅272⋅1=272\displaystyle 1\cdot 27^{2}\cdot 1=27^{2}. La solucion final es 273+273−272\displaystyle 27^{3}+27^{3}-27^{2}.

Teorema 5.1.

Sean B,B1,B2\displaystyle B,B_{1},B_{2} conjuntos finitos tales que B=B1∪B2\displaystyle B=B_{1}\cup B_{2}. Entonces

|B|=|B1|+|B2|−|B1∩B2|.\displaystyle|B|=|B_{1}|+|B_{2}|-|B_{1}\cap B_{2}|.
Demostración.

Trivial. ∎

Ejemplo.

Se lanzan dos dados de 6 caras, uno rojo y otro azul. Despues se suman los resultados. De cuantas formas se puede obtener un resultado total de 4 o mas? Lo contrario de sacar ≥4\displaystyle\geq 4 es sacar <4\displaystyle<4, que es lo mismo que sacar 2\displaystyle 2 o 3\displaystyle 3. Para que sume 2, el azul sera 1 y el rojo 1 (1 forma). Para que sume 3, hay dos posibilidades: azul 1 y rojo 2, azul 2 y rojo 1. En total, hay 4 formas. Podemos sacar el numero de opciones de ≥4\displaystyle\geq 4 restando del total (6⋅6=36\displaystyle 6\cdot 6=36). 36−3=33\displaystyle 36-3=33.

Proposición 5.3 (Principio del complementario).

Sea 𝒜\displaystyle\mathcal{{A}} una actividad tal que las distintas formas de realizarla son los elementos de un conjunto finito B\displaystyle B. Supongamos que D\displaystyle D es otro conjunto finito tal que B⊆D\displaystyle B\subseteq D y sabemos que |D|=n\displaystyle|D|=n y que |D∖B|=m\displaystyle|D\setminus B|=m. Entonces el numero de posibles formas de realizar la actividad 𝒜\displaystyle\mathcal{{A}} es n−m\displaystyle n-m. Es decir, |B|=|D|−|D∖B|\displaystyle|B|=|D|-|D\setminus B|.

Observación.

El principio del complementario es un corolario del principio de la suma.

|B|+|D∖B|=|D|⇒|B|=|D|−|D∖B|.\displaystyle|B|+|D\setminus B|=|D|\Rightarrow|B|=|D|-|D\setminus B|.
Ejemplo.

Cuantas palabras de 6 letras se pueden formar de manera que contengan al menos una vocal? Como tiene que haber ≥1\displaystyle\geq 1 vocales, lo contrario es que no haya ninguna vocal, que es lo mismo que “todo consonantes”. En ese caso, hay 226\displaystyle 22^{6} posibilidades y el total es 276\displaystyle 27^{6}. La solucion sera 276−226\displaystyle 27^{6}-22^{6}.