12 Consecuencia logica
Definición 12.1.
Sea un conjintp de formulas y una valoracion. Decimos que es modelo de si .
Definición 12.2.
Sean un conjunto de formulas y otra formula. Decimos que es consecuencia logica de si todo modelo de tambien es modelo de .
Observación.
Si consta de una unica formula y es otra formula, en lugar de
Definición 12.3.
Recordemos que un razonamiento es una formula de tipo
Ejemplo.
Estudia si la siguiente implicacion logica es cierta
p | q | r | ||||||
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
es consecuencia logica del compuesto de formulas . Contradiccion…
Proposición 12.1.
Sean un conjunto de formulas y otra formula. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
-
-
El razonamiento es correcto.
-
La formula es una contradiccion.
Demostración.
Los tres puntos son equivalentes a decir que, para toda valoracion que cumpla que
Si cumple inversamente que ∎
Ejemplo.
Estudia si el razonamiento: “Si llueve hace viento. No hace viento a menos que haga frio. No hace frio. Por tanto, no llueve.”
formalizado mediante la formula
es correcto.
Supongamos que el razonamiento es incorrecto, es decir, que existe una valoracion que hace ciertas las premisas y falsa la conclusion, es decir,
(1), (2), (3), (4).
.
Contradiccion porque es a la vez verdadera y falsa.
Luego el razonamiento es correcto.
Ejemplo.
Estudia si el razonamiento del ejercicio 14 de la hoja 2:
“Si llueve las calles estaran vacias. Si las calles estan vacias, el comercio obtiene perdidas. Los musicos no podrian sobrevivir si los comerciantes no les contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantes invierten en canciones publicitarias cuando tienen perdidas. Por tanto, si llueve, los musicos pueden sobrevivir”
formalizado mediante la formula
es correcto.
, (2), (3), (4)
Conclusion: (5).
Supongamos que el razonamiento es incorrecto, es decir, existe una valoracion u tal que
, , , ,
Con esta valoracion, y se tiene que (3) es verdadera.
Luego esta valoracion es un contraejemplo al razonamiento y, por tanto, el razonamiento es incorrecto.