9 Sucesiones de Cauchy

Definición 9.1 (Sucesión de Cauchy).

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Diremos que (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesión de Cauchy si dada ε>0\displaystyle\varepsilon>0 existe un n0∈ℕ\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N} con |xn−xm|<ε⁢∀n,m≥n0\displaystyle|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon\;\forall n,m\geq n_{0}.

Proposición 9.1.

Sea (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}. Entonces

(xn)n=1∞⁢ es una sucesion de Cauchy⇒(xn)n=1∞⁢ acotada\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\text{ es una sucesion de Cauchy}% \Rightarrow(x_{n})^{\infty}_{n=1}\text{ acotada}
Demostración.

Supongamos que (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesión de Cauchy. Entonces, para ε=1\displaystyle\varepsilon=1, ∃n0∈ℕ\displaystyle\exists n_{0}\in\mathbb{N} tal que |xn−xm|<1⁢∀n,m≥n0\displaystyle\left|x_{n}-x_{m}\right|<1\;\forall n,m\geq n_{0}. En particular, |xn−xn0|<1⁢∀n≥n0\displaystyle\left|x_{n}-x_{n_{0}}\right|<1\;\forall n\geq n_{0}. Aplicando la desigualdad triangular para n≥n0\displaystyle n\geq n_{0},

|xn|=|xn−xn0+xn0|≤|xn−xn0|+|xn0|<1+|xn0|.\displaystyle\left|x_{n}\right|=\left|x_{n}-x_{n_{0}}+x_{n_{0}}\right|\leq% \left|x_{n}-x_{n_{0}}\right|+\left|x_{n_{0}}\right|<1+\left|x_{n_{0}}\right|.

Definimos M=m⁢a´⁢x{|x1|,|x2|,…,|xn0−1|⁢,1+|xn0|}\displaystyle M=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots,|x% _{n_{0}}-1|,1+\left|x_{n_{0}}\right|\}. Entonces, claramente |xn|≤M⁢∀n∈ℕ\displaystyle|x_{n}|\leq M\;\forall n\in\mathbb{N} y (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} está acotada. ∎

Teorema 9.1.

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Entonces

(xn)n=1∞⁢ es convergente⇔(xn)n=1∞⁢ es una sucesion de Cauchy\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\text{ es convergente}\Leftrightarrow(x_{n}% )^{\infty}_{n=1}\text{ es una sucesion de Cauchy}
Demostración.
⇒\displaystyle\Rightarrow

Supongamos que l⁢ı´⁢mn→∞xn=a\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{% n}=a. Sea ε>0\displaystyle\varepsilon>0, entonces existe n0∈ℕ\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N} tal que |xn−a|<ε2⁢∀n≥n0\displaystyle\left|x_{n}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}\;\forall n\geq n_{0}. Por otro lado,

|xn−xm|=|xn−a+a−xm|≤|xn−a|+|xm−a|<ε2+ε2=ε⁢∀n,m≥n0\displaystyle\left|x_{n}-x_{m}\right|=\left|x_{n}-a+a-x_{m}\right|\leq\left|x_% {n}-a\right|+\left|x_{m}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=% \varepsilon\;\forall n,m\geq n_{0}

Luego (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} es de Cauchy.

⇐\displaystyle\Leftarrow

Sea ε>0\displaystyle\varepsilon>0. Sea n1∈ℕ\displaystyle n_{1}\in\mathbb{N} con |xn−xm|<ε⁢∀n,m≥n1\displaystyle\left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon\;\forall n,m\geq n_{1}. Como (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesion de Cauchy aplicando 9.1 (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} es acotada y, por lo tanto, contiene una subsucesion convergente a un numero real a\displaystyle a (l⁢ı´⁢mn→∞xn=a\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{% n}=a). Sea nk0∈ℕ\displaystyle n_{k_{0}}\in\mathbb{N} con |xnk−a|<ε⁢∀nk≥nk0\displaystyle\left|x_{n_{k}}-a\right|<\varepsilon\;\forall n_{k}\geq n_{k_{0}}, nk≥nk0≥n0\displaystyle n_{k}\geq n_{k_{0}}\geq n_{0}. |xn−a|=|xn−xnk+xnk−a|≤|xn−xnk|+|xnk−a|<2⁢ε⁢∀n≥n0\displaystyle\left|x_{n}-a\right|=\left|x_{n}-x_{n_{k}}+x_{n_{k}}-a\right|\leq% \left|x_{n}-x_{n_{k}}\right|+\left|x_{n_{k}}-a\right|<2\varepsilon\;\forall n% \geq n_{0}. (incompleto)

∎

Observación.

Sea (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}. Entonces

(xn)n=1∞⁢ es una sucesion de Cauchy⇒Dada ε>0 existe ⁢n0∈ℕ⁢ con ⁢|xn+1−xn|<ε⁢∀n≥n0\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\text{ es una sucesion de Cauchy}% \Rightarrow\text{Dada $\displaystyle\varepsilon>0$ existe }n_{0}\in\mathbb{N}% \text{ con }\left|x_{n+1}-x_{n}\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}
Proposición 9.2.

Sean (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} y (yn)n=1∞\displaystyle(y_{n})^{\infty}_{n=1} tales que l⁢ı´⁢mn→∞xn=a\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{% n}=a y l⁢ı´⁢mn→∞yn=b\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{% n}=b. Entonces:

l⁢ı´⁢mn→∞m⁢a´⁢x{xn,yn}=m⁢a´⁢x{a,b}\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}% \mathop{\operator@font m\acute{a}x}\{x_{n},y_{n}\}=\mathop{\operator@font m% \acute{a}x}\{a,b\}
Demostración.
a∨b=a+b−|a−b|⁢∀a,b∈ℝ\displaystyle a\vee b=a+b-\left|a-b\right|\;\forall a,b\in\mathbb{R}
xn∨yn=xn(→a)+yn(→b)−|xn−yn|⏟→|a−b|⏟a+b−|a−b|=a∨b\displaystyle x_{n}\vee y_{n}=\underbrace{x_{n}(\rightarrow a)+y_{n}(% \rightarrow b)-\underbrace{\left|x_{n}-y_{n}\right|}_{\rightarrow\left|a-b% \right|}}_{a+b-\left|a-b\right|=a\vee b}

∎