8 Convergencia de sucesiones

Supongamos, por reduccion al absurdo, que existe $\displaystyle\{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}$ y $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ tales que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=b$. Supongamos que $\displaystyle a<b$, siendo análogo para $\displaystyle b<a$. Si la sucesion es convergente, para todo entorno de $\displaystyle a$ a partir de un momento dado todos los elementos de la sucesion están dicho entorno. Lo mismo para un entorno de $\displaystyle b$. Cogemos un $\displaystyle\varepsilon$ tal que $\displaystyle a+\varepsilon\leq b+\varepsilon\Rightarrow 2\varepsilon\leq b-a\Rightarrow 0<\varepsilon\leq\frac{b-a}{2}$. Sea $\displaystyle\varepsilon=\frac{b-a}{2}$. Como $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$, $\displaystyle\exists n_{1}\in\mathbb{N}$ tal que $\displaystyle x_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ $\displaystyle\;\forall n\geq n_{1}\in\mathbb{N}$ y, como $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=b$, $\displaystyle\exists n_{2}\in\mathbb{N}$ tal que $\displaystyle x_{n}\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon)\;\forall n\geq n_{2}\in\mathbb{N}$. Definimos $\displaystyle n_{0}=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\{n_{1},n_{2}\}\in\mathbb{N}$. Entonces, se tiene que $\displaystyle x_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ y $\displaystyle x_{n}\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon)\;\forall n\geq n_{0}$. Esto no es posible puesto que habíamos supuesto que $\displaystyle(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\cap(b-\varepsilon,b+\varepsilon)=\varnothing$. Luego el límite, si existe, es único. ∎

Sean $\displaystyle a=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}$, $\displaystyle b=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{n}\in\mathbb{R}$.

1. 1.
   ​

   Sea $\displaystyle\varepsilon>0$. Como $\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}>0$, existe un $\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\displaystyle|x_{n}-a|<\frac{\varepsilon}{2}\;\forall n\geq n_{0}$ y $\displaystyle|y_{n}-b|<\frac{\varepsilon}{2}\;\forall n\geq n_{0}$. Entonces

   $$\displaystyle|(x_{n}+y_{n})-(a+b)|=|(x_{n}-a)+(y_{n}-b)|\leq|x_{n}-a|+|y_{n}-b|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$$

   Luego, efectivamente, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}(x_{n}+y_{n})=a+b$.

2. 2.
   ​

   Análogo al apartado anterior.

   $$\displaystyle|(x_{n}-y_{n})-(a-b)|=|(x_{n}-a)+[-(y_{n}-b)]|\leq|x_{n}-a|+|-(y_{n}-b)|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$$
3. 3.
   ​

   Sea $\displaystyle\varepsilon>0$. Sea $\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N}$ con $\displaystyle|x_{n}-a|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$, $\displaystyle|y_{n}-b|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$. Sea $\displaystyle M\in\mathbb{R}$ con $\displaystyle|y_{n}|\leq M\;\forall n\in\mathbb{N}$.

   $$|x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot b|=|(x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot y_{n})+(a\cdot y_{n}-a\cdot b)|\leq|x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot y_{n}|+|a\cdot y_{n}-ab|=\\ =|y_{n}|\cdot|x_{n}-a|-|a|\cdot|y_{n}-b|<M\varepsilon+|a|\cdot\varepsilon=\varepsilon(M+|a|)\;\forall n\geq n_{0}$$

   Luego $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}(x_{n}\cdot y_{n})=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{n}$.

4. 4,5.
   ​

   No vistas en clase.

∎

Sea $\displaystyle\{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}$ convergente con $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$ y fijamos $\displaystyle\varepsilon=1$. Entonces existe $\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N}$ con $\displaystyle|x_{n}-a|<1\;\forall n\geq n_{0}$. Si se aplica la desigualdad del triángulo para $\displaystyle n\geq n_{0}$, se obtiene

Definimos $\displaystyle M\coloneqq\sup\{\left|x_{1}\right|,\left|x_{2}\right|,\ldots,\left|x_{n_{0}-1}\right|,1+\left|x\right|\}$, de lo que se sigue que $\displaystyle\left|x_{n}\right|\leq M$ para todo $\displaystyle n\in\mathbb{N}$. Luego $\displaystyle\{x_{n}\}$ está acotada. ∎

Sea $\displaystyle\{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}$ una sucesión monótona acotada. Supongamos que es monótona creciente, siendo análogo si fuese monótona decreciente. Por el axioma del supremo, existe $\displaystyle a=\sup\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$. Como $\displaystyle a$ es el supremo de $\displaystyle\{x_{n}\}$, dado $\displaystyle\varepsilon>0$ existe $\displaystyle x_{n_{0}}$ con $\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\displaystyle a-\varepsilon<x_{n_{0}}\leq a$. Puesto que la sucesión es creciente, se tiene para todo $\displaystyle n\in\mathbb{N},n\geq n_{0}$, con lo que, en efecto, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$. ∎

Toda sucesión contiene una subsucesión monotona por 7.1. El resultado se sigue de aplicar que toda sucesión monótona acotada es convergente (8.4). ∎

Como $\displaystyle(x_{n})$ es una sucesión acotada, necesariamente existe $\displaystyle K\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle\left|x_{n}\right|<K\;\forall n\in\mathbb{N}$. Por otra parte, como $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{n}=0$, dado $\displaystyle\varepsilon>0$, existe $\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\displaystyle\left|y_{n}-0\right|<\frac{\varepsilon}{K}\;\forall n\geq n_{0}$. Así, obtenemos

Por lo tanto, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=0$. ∎

Supongamos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$. Sea $\displaystyle\varepsilon>0$, entonces existe $\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N}$ con $\displaystyle|x_{n}-a|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$. Tenemos que ver que $\displaystyle||x_{n}|-|a||\leq\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$, con lo que se tendría el resultado. Usando las propiedades del valor absoluto vistas en el tema anterior,

Análogamente, $\displaystyle\left|a\right|-\left|x_{n}\right|\leq\left|a-x_{n}\right|=\left|-(x_{n}-a)\right|=\left|x_{n}-a\right|$. Por tanto, $\displaystyle\left|\left|x_{n}\right|-\left|a\right|\right|\leq\left|x_{n}-a\right|$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\left|x_{n}\right|=\left|a\right|$. ∎

Sea $\displaystyle\varepsilon>0$, entonces existe $\displaystyle n_{1}\in\mathbb{N}$ tal que $\displaystyle\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{1}$ y $\displaystyle n_{2}\in\mathbb{N}$ tal que $\displaystyle\left|y_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{2}$. Definimos $\displaystyle n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}$. Entonces $\displaystyle\left|x_{n}-a\right|\;\forall n\geq n_{0}$ y $\displaystyle\left|y_{n}-a\right|\;\forall n\geq n_{0}$. Como $\displaystyle x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}$,

y se tiene que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}z_{n}=a$. ∎