7 Sucesiones monótonas y acotadas

Definición 7.1.

Una sucesión {xn}n∈ℕ\displaystyle\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} es:

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    creciente si ∀n∈ℕ\displaystyle\forall n\in\mathbb{N} se verifica que xn≤xn+1\displaystyle x_{n}\leq x_{n+1}.

  •  
    ​

    estrictamente creciente si ∀n∈ℕ\displaystyle\forall n\in\mathbb{N} se verifica que xn<xn+1\displaystyle x_{n}<x_{n+1}.

  •  
    ​

    decreciente si ∀n∈ℕ\displaystyle\forall n\in\mathbb{N} se verifica que xn≥xn+1\displaystyle x_{n}\geq x_{n+1}.

  •  
    ​

    estrictamente decreciente si ∀n∈ℕ\displaystyle\forall n\in\mathbb{N} se verifica que xn>xn+1\displaystyle x_{n}>x_{n+1}.

En cualquiera de estos casos se dice que la sucesión es monótona.

Definición 7.2.

Una sucesión {xn}n∈ℕ\displaystyle\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} está acotada superiormente si se puede encontrar un M∈ℝ\displaystyle M\in\mathbb{R} de manera que ∀n∈ℕ⁢xn≤M\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}\;x_{n}\leq M, acotada inferiormente si se puede encontrar un m∈ℝ\displaystyle m\in\mathbb{R} de manera que ∀n∈ℕ⁢n≤xn\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}\;n\leq x_{n}, y se dice que está acotada si lo está superior e inferiormente.

Ejemplo.

Sucesiones acotadas superiormente, pero no acotadas, son: {−n},{−(n)!}\displaystyle\{-n\},\{-(n)!\}. Sucesiones acotadas inferiormente, pero no acotadas, son: {n},{n2}\displaystyle\{n\},\{n^{2}\}. Sucesiones acotadas son: {(−1)n,1n}\displaystyle\{(-1)^{n},\frac{1}{n}\}. Una sucesión no acotada ni superior ni inferiormente es {(−n)n−1}\displaystyle\{(-n)^{n-1}\}.

Teorema 7.1.

Toda sucesión de numeros reales contiene una subsucesión monotona.

Demostración.

No vista en clase. ∎