6 Sucesiones de números reales

Definición 6.1.

Una sucesión de numeros reales es una función33 3 Definición vista en Lógica. x:ℕ→ℝ\displaystyle x\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}, de manera que a cada número natural n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N} se le asocia un único numero real x⁢(n)\displaystyle x(n). En general a x⁢(n)\displaystyle x(n) se le llama término n\displaystyle n-ésimo de la sucesion y se le representa por xn\displaystyle x_{n}. De la misma manera, la notación para representar la sucesión es (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}, (xn)n∈ℕ\displaystyle(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}, {xn}n∈ℕ\displaystyle\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} o {xn}\displaystyle\{x_{n}\}.

Definición 6.2.

Dadas dos sucesiones (xn)n∈ℕ\displaystyle(x_{n})_{n\in\mathbb{N}} y (yn)n∈ℕ\displaystyle(y_{n})_{n\in\mathbb{N}} podemos definir las siguientes operaciones en ℝ\displaystyle\mathbb{R} entre ellas:

  •  
    ​

    la suma sería la sucesión {xn+yn}n∈ℕ\displaystyle\{x_{n}+y_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}

  •  
    ​

    el producto por un escalar α∈ℝ\displaystyle\alpha\in\mathbb{R} sería la sucesión {α⁢xn}n∈ℕ\displaystyle\{\alpha x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}

  •  
    ​

    la resta sería la sucesión {xn−yn}n∈ℕ\displaystyle\{x_{n}-y_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}

  •  
    ​

    el producto sería la sucesión {xn⁢yn}n∈ℕ\displaystyle\{x_{n}y_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}

  •  
    ​

    el cociente no siempre se puede realizar. Primero hay que asegurarse de que yn≠0\displaystyle y_{n}\neq 0 para cualquier natural n\displaystyle n, definiéndose entonces como la sucesión {xnyn}n∈ℕ\displaystyle\left\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

6.1 Sucesiones recurrentes

La posibilidad de definir sucesiones por recurrencia se debe al siguiente resultado:

Teorema 6.1 (de definición por recursión).

Dados un conjunto, A≠∅\displaystyle A\neq\varnothing, una función H:ℕ×A→A\displaystyle H\colon\mathbb{N}\times A\to A y un elemento a∈A\displaystyle a\in A, existe una función f:ℕ→A\displaystyle f\colon\mathbb{N}\to A, que además es única, y que satisface las condiciones

  1. 1.
    ​

    f⁢(1)=a\displaystyle f(1)=a

  2. 2.
    ​

    ∀n∈ℕ⁢f⁢(n+1)=H⁢(n,f⁢(n))\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}\;f(n+1)=H(n,f(n)).

Ejemplo.

Algunos ejemplos de sucesión definida de forma recurrente es:

xn={1⁢ para ⁢n=11+xn−1⁢∀n≥2\displaystyle x_{n}=\begin{dcases}1\text{ para }n=1\\ \sqrt{1+x_{n-1}}\;\forall n\geq 2\end{dcases}
xn={2⁢ si ⁢n=1xn−1+3⁢∀n≥2\displaystyle x_{n}=\begin{dcases}2\text{ si }n=1\\ x_{n-1}+3\;\forall n\geq 2\end{dcases}
xn={3⁢ si ⁢n=12⁢xn−1⁢∀n≥2\displaystyle x_{n}=\begin{dcases}3\text{ si }n=1\\ 2x_{n-1}\;\forall n\geq 2\end{dcases}

o la sucesión de Fibonacci:

{x1=1x2=1xn=xn−1+xn−2⁢∀n≥3\displaystyle\begin{dcases}x_{1}=1\\ x_{2}=1\\ x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}\;\forall n\geq 3\end{dcases}

Es posible definir las progresiones aritmeticas de manera recursiva x1=a\displaystyle x_{1}=a y xn=xn−1+d\displaystyle x_{n}=x_{n-1}+d para n≥2\displaystyle n\geq 2 o, también, explicitando el término general de la sucesión: xn=a+(n−1)⁢d\displaystyle x_{n}\ =a+(n-1)d, es decir, la sucesión quedaría {a+(n−1)⁢d}\displaystyle\{a+(n-1)d\}. Así, por ejemplo, si a=3\displaystyle a=3 y d=2\displaystyle d=2, la sucesión sería {3,5,7,…}\displaystyle\{3,5,7,\ldots\}. De manera análoga se pueden definir las progresiones geométricas: x1=a\displaystyle x_{1}=a y xn=r⁢xn−1\displaystyle x_{n}=rx_{n-1} y también explicitando el término general: {a⋅rn−1}\displaystyle\{a\cdot r^{n-1}\}. Así, por ejemplo, si a=2\displaystyle a=2 y r=3\displaystyle r=3 la progresión geométrica sería {2⋅3n−1}={2,6,18,…}\displaystyle\{2\cdot 3^{n-1}\}=\{2,6,18,\ldots\}.

Proposición 6.1.

El sumatorio de los elementos de la progresión geométrica desde 1\displaystyle 1 hasta n\displaystyle n es Sn=a⁢(1−rn)=a⋅(1−rn)1−r\displaystyle S_{n}=a(1-r^{n})=\frac{a\cdot(1-r^{n})}{1-r} si r≠1\displaystyle r\neq 1.

Demostración.
Sn=a+a⁢r+a⁢r2+⋯+a⁢rn−1⇔−r⁢Sn=−(a⁢r+a⁢r2+a⁢r3+⋯+a⁢rn)⇔Sn−rSn=a+ar+⋯+arn−1−ar−ar2−⋯−arn⇔(1−r)Sn=a−arn⇔Sn=a⁢(1−rn)1−rS_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}\Leftrightarrow-rS_{n}=-(ar+ar^{2}+ar^{3}+% \cdots+ar^{n})\\ \Leftrightarrow S_{n}-rS_{n}=a+ar+\cdots+ar^{n-1}-ar-ar^{2}-\cdots-ar^{n}% \Leftrightarrow(1-r)S_{n}=a-ar^{n}\\ \Leftrightarrow S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}

∎

Como consecuencia,

S∞=x1+x2+⋯=l⁢ı´⁢mn→∞Sn=l⁢ı´⁢mn→∞a⁢(1−rn)1−r={a1−r⁢ si ⁢r<1l⁢ı´⁢mn→∞n⋅a={+∞⁢ si ⁢a>00⁢ si ⁢a=0−∞⁢ si ⁢a<0⁢ si ⁢r=1\displaystyle S_{\infty}=x_{1}+x_{2}+\cdots=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{n\to\infty}S_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\begin{dcases}\frac{a}{1-r}\;\text{% si }r<1\\ \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}n\cdot a=\begin{% dcases}+\infty\text{ si }a>0\\ 0\text{ si }a=0\\ -\infty\text{ si }a<0\\ \end{dcases}\;\text{ si }r=1\end{dcases}
Proposición 6.2.

La suma de los n\displaystyle n primeros términos de una progresion aritmética de primer término a\displaystyle a y diferencia d\displaystyle d es Sn=(a+[a+(n−1)⁢d])⁢n2=(x1+xn)⋅n2\displaystyle S_{n}=\frac{(a+[a+(n-1)d])n}{2}=\frac{(x_{1}+x_{n})\cdot n}{2}.

Demostración.

No vista en clase. ∎

6.2 Subsucesiones

Definición 6.3.

Una subsucesión de una sucesión (xn)\displaystyle(x_{n}) es una sucesión de la forma (xnk)\displaystyle(x_{n_{k}}), donde (nk)\displaystyle(n_{k}) es una sucesión estrictamente creciente de números naturales.

Ejemplo.

Una subsucesión de (1n)\displaystyle(\frac{1}{n}) es 12,14,16,18,…\displaystyle\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{8},\ldots o 13,16,19,112,…\displaystyle\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},\ldots

Una notación generalizada para indicar que (xnk)\displaystyle(x_{n_{k}}) es una subsucesión de (xn)\displaystyle(x_{n}) consiste en escribir (xnk)≺(xn)\displaystyle(x_{n_{k}})\prec(x_{n}).