3 Los numeros irracionales

El primer problema con las fracciones apareció en la Grecia antigua, en la escuela pitagórica. Estos descubrieron que cantidades muy sencillas como la diagonal de un cuadrado de lado unidad (2\displaystyle\sqrt{2}) no podian ser expresadas como fracciones.

En particular, la ecuacion x2−2=0\displaystyle x^{2}-2=0 no tiene solucion en ℚ\displaystyle\mathbb{Q}. Ademas, los teoremas basicos del analisis real descansan en la estructura de dichos numeros y la gran mayoria serian falsos si consideramos solo numeros racionales.

Por ejemplo, tiene sentido considerar el resultado de la “operacion” 22\displaystyle 2^{\sqrt{2}}? Sí, pues considerando el conjunto A={2pq∈ℝ∣pq∈ℚ∧pq≤2}\displaystyle A=\{2^{\frac{p}{q}}\in\mathbb{R}\mid\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}% \wedge\frac{p}{q}\leq\sqrt{2}\}, que es un conjunto que está acotado superiormente, resultará que 22=supA\displaystyle 2^{\sqrt{2}}=\sup A. En general, dados x,y∈ℝ\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, con x>0\displaystyle x>0, se define xy\displaystyle x^{y} del siguiente modo:

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    Si x>1\displaystyle x>1 entonces xy=sup{xr∣r∈ℚ∣r≤y}\displaystyle x^{y}=\sup\{x^{r}\mid r\in\mathbb{Q}\mid r\leq y\}

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    Si x<1\displaystyle x<1 entonces xy=ı´⁢nf{xr∣r∈ℚ∣r≥y}\displaystyle x^{y}=\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}\{x^{r}\mid r\in% \mathbb{Q}\mid r\geq y\}