14 Convergencia de series generales

Definición 14.1.

Dada (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} diremos que ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n} es absolutamente convergente si ∑n=1∞|xn|\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_{n}\right| converge.

Proposición 14.1.

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Se cumple que

∑n=1∞xn⁢ es absolutamente convergente⇒∑n=1∞xn⁢ es convergente\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ es absolutamente convergente}% \Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ es convergente}
Demostración.

No vista en clase, aplicando desigualdad triangular. ∎

Definición 14.2.

Dada (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}, diremos que ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n} es condicionalmente convergente si es convergente y no es absolutamente convergente.

Teorema 14.1 (Criterio de Leibniz).

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} una sucesion de numeros reales decreciente de manera que l⁢ı´⁢mn→∞xn=0\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{% n}=0. Entonces la serie ∑n=1∞(−1)n⋅xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot x_{n} (que podemos visualizar como ∑n=1∞(−1)n⁢xn=x1−x2+x3−x4+⋯\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}x_{n}=x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\cdots) es convergente.

Demostración.

No vista en clase. ∎

Ejemplo.

La serie ∑n=1∞(−1)n⁢1n=−1+12−13+14−15+⋯\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}% +\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots es convergente pero no absolutamente convergente. Luego es condicionalmente convergente. ∑n=1∞(−1)n⋅sin⁡(n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot\sin(n) no converge. ∑n=1∞(−1)n+1⋅5n=∑n=1∞(−1)n+1⁢5n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot 5}{n}=\sum_{n=1}^{\infty% }(-1)^{n+1}\frac{5}{n}. Como 5n\displaystyle\frac{5}{n} es monotona decreciente y tiende hacia 0, aplicando el criterio de Leibniz, la serie converge. ∑n=1∞(−1)n⋅3n−22n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cdot 3^{n-2}}{2^{n}}. 3n−22n=3n322n1=3n32⋅3n=19⋅(32)n→∞\displaystyle\frac{3^{n-2}}{2^{n}}=\frac{\frac{3^{n}}{3^{2}}}{\frac{2^{n}}{1}}% =\frac{3^{n}}{3^{2}\cdot 3^{n}}=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n}\rightarrow\infty (serie geometrica). Resulta que como no existel⁢ı´⁢mn→∞(−1)n⋅3n2n\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}% \frac{(-1)^{n}\cdot 3^{n}}{2^{n}} la serie del enunciado no converge.