1 Numeros reales

En el conjunto $\displaystyle\mathbb{R}$ de los numeros reales hay dos operaciones binarias, denotadas por $\displaystyle+$ y $\displaystyle\cdot$, a las que se llama adicion y multiplicacion, respectivamente. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:

1. 1.
   ​

   $\displaystyle(a+b)+c=a+(b+c)$ para toda $\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}$ (propiedad asociativa de la suma)

2. 2.
   ​

   $\displaystyle a+b=b+a$ para toda $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ (propiedad conmutativa de la suma)

3. 3.
   ​

   existe un elemento $\displaystyle 0$ en $\displaystyle\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle 0+a=a$ y $\displaystyle a+0=a$ para toda $\displaystyle a$ en $\displaystyle\mathbb{R}$ (existencia del elemento neutro)

4. 4.
   ​

   para cada $\displaystyle a$ a en $\displaystyle\mathbb{R}$ existe un elemento $\displaystyle-a$ en $\displaystyle\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle a+(-a)=0$ y $\displaystyle(-a)+a=0$ (elementos opuestos)

5. 5.
   ​

   $\displaystyle(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ para toda $\displaystyle a,b,c$ en $\displaystyle\mathbb{R}$ (propiedad asociativa de la multiplicacion)

6. 6.
   ​

   $\displaystyle a\cdot b=b\cdot a$ para toda $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ (propiedad conmutativa de la multiplicacion)

7. 7.
   ​

   existe un elemento $\displaystyle 1$ en $\displaystyle\mathbb{R}$ diferente de $\displaystyle 0$ tal que $\displaystyle 1\cdot a=a$ y $\displaystyle a\cdot 1=a$ para toda $\displaystyle a$ en $\displaystyle\mathbb{R}$ (existencia del elemento neutro)

8. 8.
   ​

   para cada $\displaystyle a\neq 0$ en $\displaystyle\mathbb{R}$ existe un elemento $\displaystyle a^{-1}$ en $\displaystyle\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle a\cdot a^{-1}=1$ y $\displaystyle a^{-1}\cdot a=1$ (elemento inverso)

9. 9.
   ​

   $\displaystyle a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ y $\displaystyle(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ para toda $\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}$ (propiedad distributiva de la multiplicacion sobre la adicion).

Por satisfacer estas propiedades (axiomas) se dice que el conjunto $\displaystyle\mathbb{R}$ tiene estructura de cuerpo respecto de la suma y producto habituales, o tambien que la terna $\displaystyle(R,+,\cdot)$ es un cuerpo. Las propiedades anteriores, que constituyen los primeros 9 axiomas de la definicion axiomatica $\displaystyle\mathbb{R}$, permiten obtener otras propiedades. Algunas de estas son las siguientes:

•  
  ​

  $\displaystyle\forall x\in\mathbb{R}$ si $\displaystyle x+x=x$ necesariamente $\displaystyle x=0$. En efecto, si $\displaystyle x+x=x$ entonces $\displaystyle(-x)+(x+x)=(-x)+x\overset{A1}{\Rightarrow}(-x+x)+x=0\Rightarrow 0+x=0\Rightarrow x=0$.

•  
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  $\displaystyle\forall a\in\mathbb{R}$ se verifica que $\displaystyle 0a=0$. En efecto, $\displaystyle 0a=(0+0)a=0a+0a$ y, haciendo uso de la propiedad anterior, $\displaystyle 0a=0$.

•  
  ​

  El elemento opuesto de un numero es unico. Supongamos que existen dos elementos $\displaystyle b,c\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle b+a=0$ y $\displaystyle c+a=0$. En ese caso, $\displaystyle a+b=0=a+c$ y, por tanto, $\displaystyle b=b+0=b+(a+c)\overset{A2}{=}(b+a)+c=0+c=c$.

•  
  ​

  $\displaystyle(-1)a=-a$. En efecto, $\displaystyle a+(-1)a=1a+(-1)a=(1+(-1))a=0a=0$ por lo que teniendo en cuenta la unicidad del elemento opuesto tenemos que $\displaystyle(-1)a=-a$.

•  
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  Si $\displaystyle ab=0$ y $\displaystyle a\neq 0$, entonces $\displaystyle b=0$. Si $\displaystyle a\neq 0$ entonces podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por $\displaystyle a^{-1}$, obteniendo $\displaystyle a^{-1}ab=a^{-1}0\Rightarrow 1b=0\Rightarrow b=0$.

•  
  ​

  La ecuacion $\displaystyle ax+b=0$ tiene una unica solucion, siempre que $\displaystyle a\neq 0$.

Si $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ y $\displaystyle a\leq b$, entonces se definen:

•  
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  el intervalo abierto de extremos $\displaystyle a$ y $\displaystyle b$ como el conjunto $\displaystyle(a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}$.

•  
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  el intervalo cerrado de extremos $\displaystyle a$ y $\displaystyle b$ como el conjunto $\displaystyle[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}$

•  
  ​

  $\displaystyle[a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\}$

•  
  ​

  $\displaystyle(a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\}$ (en algunos textos llaman a estos intervalos semiabiertos o semicerrados)

•  
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  $\displaystyle(-\infty,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\}$

•  
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  $\displaystyle(-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R},x\leq b\}$

•  
  ​

  $\displaystyle(a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\}$

•  
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  $\displaystyle[a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\}$

•  
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  $\displaystyle(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}$

Si $\displaystyle\sup S\in S$, diremos que es el máximo de $\displaystyle S$. Por otro lado, si $\displaystyle\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}S\in S$, recibe el nombre de mínimo de $\displaystyle S$.

Un conjunto $\displaystyle S$ que no esté acotado superiormente no tendrá supremo (ni cotas superiores). En este caso a veces se escribe que $\displaystyle\sup A=+\infty$.

Para terminar la axiomática de los numeros reales, se añade la siguiente propiedad:

1. 16.
   ​

   Todo subconjunto de los numeros reales no vacio y acotado superiormente tiene supremo.